张宇1000题强化篇总结·第十八章
张宇1000题强化篇总结·第十八章
第十八章
这一章的内容实际上以计算为重，实际上这里面的习题里面有很多灵活的计算方法没有在书中提及，
18.1 粗心错误
三重积分的计算、对称性的考察
这里考察的是轮换对称性
这里记错公式了，在三重积分重正确的dV=r^2*sinfi，这里记成了dV=r^2，实在是丢碾
18.2 粗心错误
第一型曲线积分的计算
这里需要讲第一型曲线积分转换为对y的积分
这里粗心的原因是最后在代入值计算的过程中，习惯性地以为y=0的时候结果就是0，所以得到的结果中只有y=1时候的结果，漏掉了-1/3
18.3 大意错误
第二型曲线积分的大小判断考察
这里答案的方法是，将其使用格林公式讲第二型曲线积分转换为面积分。根据格林公式得到的结果，结合几何的知识，可以很简单得到对应答案
但是这里本人的做法是，平移后直接观察和判断，即令u=x-1/2，v=y-1/2，然后对应I、J、K进行判断，不需要使用格林公式，因为三个式子在很大部分都十分相似，只需要考虑vdu、udu、(uv-u1/2-v1/2+1/4)du的大小即可，并且我们很容易发现，在闭曲线上，udu的积分值为0，uvdu的积分值为0，vdu的积分值为-π，所以I<k<J
但是由于大意，所以这里在计算的过程，没有考虑到vdu的具体积分值，只是习惯性地觉得它是小于0的，然后觉得(uv-u1/2-v1/2+1/4)du的积分值大于0，所以就得到了I<J<K这种错误的判断
18.4
第一型曲线积分的计算、对称性的考察
这里使用了轮换对称性
并且需要注意的是，这里的封闭曲线不是半径为a的圆
这里的封闭曲线是一个半径为a*√3/2的圆，如果不知道为什么可以自己画图
后续考察第一型曲线积分的轮换对称性也有很多
18.5
第一型曲线积分的计算、对称性的考察
这里也是使用了轮换对称性，与上一条题不同的是，这里的轮换对称性不可以直接简单的替换
这里使用的公式为(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
所以我们需要使用上面(x+y+z)^2-x^2+y^2+z^2来得到我们需要积分的式子
18.6 思路错误
第一型曲线积分的计算
这里给人一种使用对称性的误导，实际上，这里却是可以使用对称性，前提是你需要计算出z^2ds对于这个曲线上的积分值，但是如果要计算这个积分值，实际上还是需要使用答案的方法、或者说思路，我们现在讲的就是这个思路，这个对于在第一型曲线积分中，特别是在三维的背景下，还是比较重要的
答案的方法很巧妙，根据题目可以自己研究出参数方程，根据这个参数方程能够计算出结果
18.7
第一型曲线积分的计算
这里考察的也是轮换对称性
这是是需要凑出对称性，实际上有点像18.6里面的错误的思路
并且需要注意的是，这里的轮换对称性得到的封闭曲线的结果不是简单的为半径为R的圆，具体半径是多少是需要计算点到面的距离，然后使用勾股定理计算得到的
18.8 粗心错误
第二型曲线积分的计算考察
这里需要使用格林公式，将其转换为二重积分计算
这里注意这种题目，对于已经给出了封闭曲线的题目，用格林公式之后实际上大多数结果都不会直接为0，一般都会有一个具体的数字，不然就没有考察的意义了
18.9
第二型曲线积分的考察，格林公式的使用
这里我们第一问需要使用格林公式构造出微分方程，然后通过解微分方程得到f(x)和g(x)的表达式
第二问直接沿着坐标轴移动即可
18.10 粗心错误
空间第二型曲线积分的考察
这里第一问这种旋转的问题一定要会不可出错
注意，这里我们使用斯托克斯公式的时候，第一行的顺序是dydz、dzdx、dxdy，不要搞混
实际上为了方便，我们寻找的曲线可以灵活一点，例如x+z=1，这样计算我们的单位方向向量的时候就会简单一点
18.11 计算错误
空间第二型曲线积分的考察
这里在计算的时候看错了一个符号，导致后面怎么也积不出来，实在是惭愧
答案的另外一个方法是分为三条线分别考虑，或许也是一个不错的方法
18.12 粗心错误
空间第二型曲线积分的考察
这里答案使用了构建参数法，这是十分值得学习的。像这种球、锥、柱形状的空间第二型曲线积分，如果可以构建参数，然后使用参数法暴力计算，计算的过程是十分顺畅、不容易错的
这里本人使用的是观察法，通过对称性发现|y|dz实际上是为0的，然后计算(x+y-z)dx=(2x+y)dx，然后又通过对称性发现xdx是为0，实际上只需要计算ydx就行了
那这里错误的原因就是看错了积分上限，实际上x的变化是0->根号2->0的，本人直观地以为x的变化为0->1->0，所以导致计算结果是错误的
18.13
平面第二型曲线积分的考察
经典平面第二型曲线积分，使用格林公式解决，因为不是封闭曲线所以需要加线补线的问题
18.14 粗心错误
平面第二型曲线积分、结合多元微分学的考察
由于二阶偏导连续，所以通过格林公式计算得到的结果可以直接相减得到1
这里粗心出欧的原因是：没有看到区域D表达式中≤右边居然是4，以为是1，难绷
18.15 新颖
空间第二型曲线积分、灵活考法
这里考察的时候突破了常规的考法，增加了微分的知识
虽然看起来不好做，但是实际上我们只需要将I里面的f(x,y)用y的导数形势替换，就会发现原来的dx变成了dy、原来的dy变成了dx，这是一件十分有意思的事情
18.16 思路错误
第二型曲线积分的考察、变换考察方式
我们看到封闭曲线，第一反应就应该是去尝试格林公式
如果看到格林公式得到的结果不是很理想，或者说从格林公式中看不出任何思绪，就要谨慎一点了，因为有可能是你计算错误了。这里就是本人计算错误了，一个正负号搞混了，导致一直做不出来
当我们得到正确式子后，根据二重积分的定义，实际上很快就可以得到结果
18.17
空间第二型曲线积分的考察
这里首先使用斯托克斯公式转换为第二型曲面积分，然后利用轮换对称性发现实际上我们只需要计算一个曲面积分即可，然后通过一投二代三计算得到结果即可
注意，我们这里要注意正负号的变换。如果你跟我一样，是转换为第二型曲面积分，那么转换后就会有第一个负号出现，然后在曲面积分的计算过程中，也就是一投二代三计算的过程中，又会出现一个负号
18.18 粗心错误，好题
平面第二型曲线积分的考察、奇点的发现
这里发现有几点，所以需要换线，我这里选择了在-1，1用单位圆的上半段，在1，2用x轴直线段
但是错误就在于，计算单位圆的上半段的第二型曲线积分时候，没有注意到这并不是封闭曲线，就直接傻乎乎地用格林公式了，但是很明显这里是错误的
但单位圆的第二型曲线积分如何计算呢，我思考了很久，感觉还是答案的参数法好用
所以做这种第二型曲线积分的时候（无论是空间还是平面），在很多时候都要想一想，是否可以使用参数法计算
同时我们在考试的时候，也要有验算结果是否符号是一致的意识
18.19
平面第二型曲线积分的格林公式考察、结合微分方程
用格林公式求微分方程即可
18.20
平面第二型曲线积分的格林公式考察、结合多元微分
这里需要通过知道多元微分的偏导逆求多元微分函数，然后计算极值
还是比较综合的题目，挺好的
18.21
立体几何大观的考察，空间的曲面面积的比较
实际上这里使用几何大观可以直接秒杀，我们把打字图像画出来，然后找到所截位置的z轴坐标，很快就可以得到结果了
18.22 粗心错误
第一型曲面积分的考察、对称性的使用
这里我们需要使用到对称性，然后分析1/4的曲面面积即可，后面就是纯计算题目
这里粗心错误的原因是在进行积分计算的时候，也就是根号下1+4r^2这部分的积分过程中，使用了变量代换，但是没有体现到dr中，导致最终系数算错，遗憾退场，必须要引以为戒
实际上，出题老头的心思很单纯，对于硬算的题目，大部分都是要求在x、y、z正半轴，如果不是在正半轴，就可以考虑使用对称性或者其他方法了
18.23 粗心错误
曲面的形心计算、第一型曲面积分
这里纯粗心错误，居然漏掉了z≤1这个条件，然后傻乎乎算了一个半球的面积
18.24 粗心计算
三维立体的形心计算、第一型曲面积分
这里就是纯想的太多了，用变量代换x=rcos+1，y=rsin，反而让问题更加复杂
这种情况下面还是要回归最基本的x=rcos、y=rsin
18.25 理解错误
立体几何大观、第一型曲面积分的考察
这里一定要头脑清醒，我们所截图形和被截图形的关系，还有问题所问的曲面积分到底是哪个面的积分，这些一定要清楚
因为这些关联的是z的代换问题、dS的的投影问题，一旦不清楚的话很容易算错
18.26 好题
第一型曲面积分和第二型曲面积分的关系考察
这里题目很简单，但是考察的是将第一型曲面积分和第二型曲面积分的关系。
我们在学这部分的时候，一定要讲这些积分联合在一起去学习，不要分割，这种知识整合的思想才是考试的趋势
18.27 理解错误
第一型曲面积分的考察
这里同样是犯了18.25同样的错误
因为那时候根本不理解，它的法向量替换、投影究竟是依据什么东西的
现在错了两遍，希望会老实一点
18.28 粗心错误
第二型曲面积分的考察
这里需要使用到高斯公式转换为三重积分计算
注意这里三重积分计算的体积是圆的一部分，不要算错了
18.29 易错
第二型曲面积分的考察、第二型曲面积分的陷阱
注意了，我们在第二型曲面积分里面，如果有抽象函数，并且我们的题目条件只是给出了抽象函数是连续函数，那么我们就不能使用高斯公式
我们面对这种题目的做题方式就是，首先将我们的曲面的法向量计算出来，然后通过法向量得到单位法向量，然后代入回积分式子中，将dydz、dxdz、dxdy这些第二型曲面积分全部转换为第一型曲面积分来计算，然后再将第一型曲面积分投影到一个比较适合做积分的二维坐标轴上面去做二重积分
实际上可以直接投影到一个二维坐标轴上也是正确的
18.30 超级超级粗心错误
立体几何大观、第二型曲面积分的考察
这里太粗心了，只是考虑了柱面，没有考虑加面补面
这条题目的计算量还是比较大的
18.31
第二型曲面积分的考察
这里直接使用高斯公式计算即可
在第二问的计算中，我们在积分变量代换中可以灵活一点，略施小计，将原本需要积分的椭球体变成一个标准的单位球
18.32 粗心错误
第二型曲面积分的考察
这里本人的方法和答案略有不同，答案是加面补面
本人的做法是单独计算，但是计算的过程中有点粗心导致错误
18.33 粗心错误，好题
立体几何大观、立体中直线绕定直线的旋转体问题、第二型曲面积分的考察、第二型曲面积分的陷阱
这里第一问一定要熟悉做题流程
第二问计算的时候，能够认出阿里这个是陷阱了，但是投影面的大小计算错误了。
这里又是先入为主地认为投影面的大小是单位圆，实际上是半径1到半径2的圆环
18.34 大容量计算
立体几何大观、立体中直线绕定直线的旋转体问题、第二型曲面积分的计算考察
这条题的计算量，只能说大的让人孕吐
首先，我们需要用17章的知识计算出曲面
其次，为了使用高斯公式，需要求出所需积分式子的散度
然后，为了能够使用高斯公式，我们需要加面补面，在加面补面后计算所加的面对应的第二型曲面积分的值
接着，我们使用高斯公式，将加面补面后形成的封闭曲面积分转换为三重积分来计算，得到这个三重积分值
最后，将三重积分值减去前面所加的面的第二型曲面积分值，得到最后的结果
悲哀的是，这个结果很丑陋，也很容易让人孕吐
18.35 粗心错误
第二型曲面积分的小题考察
这里是因为粗心把符号搞错了，我们换面积分即可
18.36 粗心错误
立体几何大观、第二型曲面积分的计算
这里同样是犯了18.25同样的错误
真的很蠢，实际上是很简单的，我们只需要转换为第一型曲面积分，然后再投影到一个容易计算的二维坐标轴上去计算二重积分即可
18.37 好题
立体几何大观、第二型曲面积分的考察、函数导数性质的考察
这里增加了函数的单调性质，所以我们在使用了高斯公式后得到的三重积分里面的被积函数可以化简
18.38 理解错误，全盘皆输
立体几何大观，三重积分的转动惯量考察
因为读题理解错误，理解成了曲面的转动惯量，然后结果就悲剧了
