张宇1000题强化篇总结·第十六章
张宇1000题强化篇总结·第十六章
第十六章
这一章内容一般是看起来比较难，但是只要掌握了本质，然后思考的时候全面性地考虑，总会有一个正确可用的方法来解决问题的
16.1
指数函数的收敛分析
实际上个人认为答案说给的分析方法比较复杂，可以尝试看看本人的方法
我们可以将其转换为对数，很容易就会出现1/（n^lna）这个东西，然后分析其敛散性即可
感觉这里答案使用的方法是依据选项进行分析，但是作为练习题，我们应该对每一个选择题填空题都保留做大题的态度
16.2 闭关原题
复杂数列的判敛、放缩能力的考察
对于这种要求两个相邻项关系的题目，我们应该考虑单个放缩还是两个一起放缩。通过实践证明，在大多数情况下，两个放缩出现的次数还是比较多的。
做这种放缩题目的时候，一般我们只需要浅浅尝试一些放缩即可得到想要的结果。这就告诉我们，如果放缩了很多次都得不到想要的结果，那就是弄错了方向，可以尝试转换个路径去做
第二问就是使用了极限存在的定理，没什么好说，善于发现即可
实际上这条题本人还是做了比较久的，因为本人一直想着单个放缩，许久无果后才尝试两个一个放缩从而得到递推式
16.3 判断错误，闭关原题
级数判敛四选一问题
这里判断错误的是A、D选项
A这里应该是思路错误了，不等式放缩的时候搞混了，当初是真的傻
D这里就是大意了，当初一看到式子想的是使用闭关修炼中处理（-1）^n的第一种方法，即不等放缩，全然不知道这个方法只适用于正项级数，而对于交错级数是不适用的。对于交错级数，应该用到恒等变形。事实却是如此，今日翻书的时候发现这个是原题
16.4
级数判敛的考察、条件收敛和绝对收敛
这里一定要进行放缩，需要很敏感地对ln里面的进行放缩，就很容易得到正确的结果了
16.5 判断错误
绝对收敛和条件收敛的思考
对于选择题，我们可以代入一些特殊的、常见的结果帮助判断，例如1/n、1/n的交错级数形式
对于A、B、D选项，这里答案的放缩还是很精彩的，如果学会就可以说是魔功小成了
16.6 定理细节考察
很经典的绝对收敛和条件收敛的相互关系考察题目
我们在这里彻底搞清楚绝对收敛和条件收敛的区别
绝对收敛：
- 一个数列的绝对值数列收敛
- 此数列即使不加绝对值也收敛
- 此数列所有的正项数列和负项数列都收敛，最终都趋于0
条件收敛
- 一个数列的绝对值数列不收敛
- 此数列不加绝对值才收敛
- 此数列的所有正项数列和负项数列都不收敛，但是最终会趋于0，可能在数据上类似1/n
- 条件收敛的原因是，数列中的正项和负项逐渐减小但是相互制约，所以在不加绝对值的情况下可以收敛
- 但是如果加上绝对值，数列中的正项部分和负向部分不再存在相互制约，所以就会发散
- 但是注意，条件收敛最终也是趋于0的，即使加了绝对值也是如此，这个在很多场景里会应用到
这里值得一题的是，对于B选项，它是条件收敛的，但是由于其绝对值大于A选项，又因为A发散，所以B选项只是条件收敛而不是绝对收敛
对于的选项，无论是基础还是闭关修炼中都有对应的证明，可见其重要性
16.7 不同思路
复杂形式的级数判敛
这里答案的判断方法，个人感觉很勉强，不妨看看本人的思路
这里我们先观察题目，看到题目给了一个不三不四的式子，然后让我们判断一个条件收敛
看到条件收敛，我们应该下意识想到我们的老朋友，那就是1/n
或者说，我们最好可以将a_n往1/n上去凑
不试不知道，一试吓一跳
在我们得到a_n的表达式后，我们将其与1/n用比较判别法的极限形式，居然发现得到的结果是一个常数
那就说明a_n与1/n具有相同的敛散性
16.8 理解错误
经典的抽象判敛问题
实际上这个如果使用1/n即可得解
这个好像也是论证1/n的经典问题
实际上，这个问题就是问你，一个级数收敛和n趋于无穷时a_n=0的关系
16.9 理解错误
比较判别法的考察
实际上这条题目考察的是，比较判别法的有效范围，或者说适用的级数范围
我们都知道，比较判别法是正项级数专属的，但是在做这条题的时候是否能够想到呢
带着这段话去思考，很容易就得到正确结果
16.10 引发思考
微分方程结合级数，放缩能力的考察
这里主要困难的地方是在第二问
像这种积分里面的放缩问题，我们一般考虑积分中值定理，或者将积分往x的幂函数靠近
为什么要往x的幂函数靠近呢，因为x的幂函数无论是对于积分还是微分，都是十分简便的，无论是对于人，还是对于机器来说
所以说在很多情况，我们更希望可以对一个x的幂函数处理，而不是复杂的复合函数。这就是泰勒公式诞生的目的
16.11
放缩能力的考察
实际上，在16.10的背景下，我们很容易拿下这条题
16.12
幂级数收敛域的范围变化
很经典的幂级数收敛域随着平移变化、但是大小不变的考察
根据条件我们知道它的收敛域至少为（-1，1]，则在左移2个单位后那就变成(-3, -1]
16.13
幂级数收敛域的范围变化
这个相比于上体，考的就明显一点
16.14 定理细节考察
收敛半径的分析，两个级数相加
这里我们强调一遍定理：如果两个级数相加，说得到的收敛半径一定等于两个级数中收敛半径小的一方的收敛半径
但是这个定理有一个前提：两个级数的收敛半径不可以相等，因为可能会出现抵消使得收敛半径变小或者变大
所以A、B、的都可以排出，只剩下C了
16.15 细节计算
应用题中的极限考察
实际上本题不难，但是计算要求的细节很多，是很经典的容易拿分，但是不容易拿满分的题目
特别是对和函数的值分析部分
16.16
点火公式考察
这条题就是华里士公式的分析，后面的计算也是十分简单
但是这里计算过程本人是和答案不同的，结果一样就行，因为每个人构造的幂级数不一样，但是结果一致就可以，不必过多纠结
16.17 伽马函数
递推能力的考察、分部积分法的地推
实际上，这个就是伽马函数的推导过程，一步一步进行分部积分即可
16.18
递推能力的考察、分部积分法的地推
具体思路同16.17
16.19
微分方程、计算能力的考察
比较综合的题目，第一问考察微分方程，第二问考察了积分的技巧，然后还考察了数列的极限
16.20 闭关原题
隐藏条件发现的考察
这条题还是比较偏的，谁能想到，要进行求导来得到和函数的关系？
16.21
变形的考察、反套路题目
这条题如果你用16.20的方法，你是很难算出正确结果的，不要问我为什么知道
实际上只需要简单构建递推式即可
16.22 小细节
微分方程结合幂级数求和函数
这里需要注意的是ln（1-x）中的-1的幂次是n-1，不是n
16.23
典型的构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题、带1/n的幂级数
计算即可，注意符号的规范
16.24 放缩考察
抽象函数判敛、放缩能力的考察
这里考了很多的放缩，第二问也是，还是比较有意思的题目的
16.25
典型的构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题、带n的多次幂题目
这条题我们可以不管这个(-1)^n，我们直接使用a、b、c、d的公式即可完成，最后再将x=-1代入即可
16.26 不懂答案
积分的几何应用结合幂级数
这里不知道为什么，答案的积分是这个依托玩意，没看懂
16.27 计算？
计算能力的考察
感觉怪怪的，居然直接代入即可得证了
16.28 思路错误
函数展开幂级数
这里居然想到使用泰勒公式，真的是蠢的没边了
这里应该通过变形，然后得到正确的表达式，注意不要忘记收敛域的判断
最后再通过求导的得到幂级数的和函数
16.29
收敛域的判断
注意这里x的上标是2n+1，所以x取±1都是无关的
16.30
典型的构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题、带n的多次幂题目
可以老老实实做，也可以直接使用a、b、c、d的公式即可完成，具体其实和16.25一样
16.31 伽马函数
积分的考察、构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题
注意伽马函数的计算，感觉这里张宇很喜欢出
16.32 细节错误
构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题，带1/n！
看到n！想到e^x，注意e^x是从0项起的，所以不要漏掉1
16.33 小细节
构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题，带1/n！
注意注意，特别是e^x这种问题，出现了积分，一定要对0有防范意识，很容易被坑
16.34 思路错误
简单的和函数考察
这里思路错误了。
一定要对n次幂很敏感，因为n次幂如果收敛，一定使用那个公式！！！
不要再想往其他地方凑了
16.35 复杂计算，思路错误
比较复杂的构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题，带1/（2n-1）
这里要注意，不可以使用ln（1-x）做题了，因为ln（1-x）的变化中，分母和幂次都是一同变化的：如果分母为n-1，幂次就是n-1；如果分母为2n，幂次就是2n；如果分母为2n-1，幂次就是2n-1。我们如果这样做的话，是无法得到-1的n次幂的
这里我们就需要使用到arctanx了
16.36 疑似凑数
构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题，带1/n！
非常简单，直接变即可
16.37 粗心错误
积分的几何应用，级数的运算
一定一定要注意，根号分之一的积分，系数是需要乘2的
在这里再计算和函数的时候也是需要一定的技巧，具体可以看看答案，感觉也是比较值得学习的
16.38 不同思路
微分方程结合级数敛散性判断
这里第二问的思路和答案不一样，原本的想法是变成多个和函数相加，然后得到对应的范围是[0,1)，然后再单独判断1的收敛，个人感觉不是很严谨
感觉用答案的单调性分析比较严谨，但是这个会不会考的太杂了？感觉过于杂糅了
16.39 步骤遗漏
微分方程结合级数考察，1/n问题
这里第一问没什么好说的，对于第二问，我们在极限的时候进行无穷小等价，得到结果的时候，还是要进行分析的，因为这里是大题，所以是有分析的必要的
16.40
傅里叶级数的函数近似后的取值考察
一定要注意，傅里叶级数的得到的和函数，一定是f(x)函数的周期且自身的在一点的值等于f(x)的左极限加右极限的
16.41 粗心错误
傅里叶级数的计算
一定要注意，傅里叶级数中的l=T/2的
16.42
傅里叶级数的灵活使用
这里问S(0)，实际上就是a_0/2 + 所有的a_n
同理，那么S(π/2)就是所有的b_n
16.43 闭关原题
这里计算有点复杂，还是比较难的
首先，我们根据这个cosnx，判断这个一定是傅里叶级数
根据这里有一个x^2，判断f(x)大致是和x^2有关系的
然后代入值计算，发现这个f(x)就是x^2
呃🤔，我自己这么说都感觉有点勉强
16.44 概念不熟
傅里叶级数和函数和原函数的关系的深入分析
傅里叶级数的得到的和函数，一定是f(x)函数的周期且自身的在一点的值等于f(x)的左极限加右极限的
