张宇1000题强化篇总结·第十五章
张宇1000题强化篇总结·第十五章
第十五章
这一章主要是灵活使用公式和计算，如果计算这里有门槛的话，可以回去多做一些积分题目来进行训练
15.1
非齐次方程解的结构分析
非常经典的解的结构分析题目，以下是个人总结的操作流程
- 首先看题目问的微分方程是阶数，并且检查题目所问的是为齐次方程，还是非齐次方程
- 观察题目说给的解的结构，如果给的是两个特解的话，要会寻找出通解
- 根据通解构建齐次的微分方程方程
- 如果为非齐次方程，要会通过特解来将齐次方程完善为非齐次方程
15.2 计算能力
一条需要证明很久的证明题，因为如果你的证明方法不对，你需要证明很久
这条题在闭关修炼中也出现过，具体还是根据周期性来构造c使得结果是周期的，但是对于积分的变限来说还是需要一定的技巧，或者说，阅历
15.3 有意思
结合多元微分考察微分方程
答案里面是对y求导，然后代入对应的结果
但是请观察题目说给的偏导数条件，可以发现，如果u=v=x的话，这个公式不就是f(x, x)对x的求偏导吗？事实上就是这样的，然后你很快就可以将f(x, x)求出来。
但是需要注意的是，不要讲这个偏导数条件看成：f对x求偏导 + f对x求偏导 = x·x了 。不然得到的结果就会与正确的结果差一个二分之一
15.4 综合计算
函数性态的考察、极限计算、分类讨论能力、有关变限积分的变换、对一阶线性微分方程中公式的深刻理解
这条题也是闭关修炼的原题，例15.3。
我们首先知道水平渐进线这个条件的含义，然后根据题目通过一阶线性微分方程的求解公式解得y的表达式，然后要深刻理解这个含义，也就是不能单纯转换为不定积分，而是变限积分，因为它实际上就是不带常数项的原函数。
在知道他是变限积分后，因为指数函数的特性，所以需要对a进行分类讨论，不同的分类讨论得到的结果不一样，最终得到的极限结果不一样
如果需要算出使得a>0的时候满足条件的C的话，还是要费一般功夫，因为要构造的c，是里面被积函数的反常积分，需要一定的知识积累
15.5
二阶齐次对解的结构的理解
题目所说有周期性，一定要联想到cos和sin，并且不是所有的cos和sin都有解的，必须是实数部分为零的才可以
15.6
齐次型微分方程求通解
观察形式，发现正常方法无法解，只能使用换元法，可以发现，只需要u=y/x即可换元成功，剩下的就是计算的问题了
15.7
齐次方程解的结构分析
知道是齐次方程后，根据解的结构，可以知道有两个二重根
15.8
微分知识构造微分方程
需要自己构造出导数并进行计算，注意，1/y的积分里面有绝对值
15.9 思路不优
较为复杂的微分方程
这条题还是有点难的，首先，很难想到可以换过来形成一个一阶线性的微分方程，因为确实1/（y+1）比较少见。如果你也像我一样看不出来，那就是微分方程这部分的内容不够扎实。
实际上，本人的做法是使用了闭关修炼中的一阶微分方程求解中齐次型第三种情况的c方法，虽然也能得到正确的结果，但是过程非常坎坷，计算的内容颇多且杂，很容易粗心错误，所以这里个人还是比较青睐于答案这种普通的方法。
这个实际上也告诉了我们，那些所谓的二级结论都需要记，只不过是你实在是想不出正常的解题路径之后，一种暴力解决问题的方法而已。
15.10 疑似凑题
一阶微分方程齐次型
见到分式，首先观察其是否为齐次型，如果为齐次型，当然可以使用x/y或者y/x了
这条题很简单，不多说，感觉还是15.9比较深入人心一点
15.11 思路不优
变限积分结合微分方程
实际上，本人在做此题的时候是对两边进行两次求导，最终使用二阶可降阶的微分方程求解方法才完成了这条题
但是实际上，我们在进行第一次求导之后，看到积分里面的东西就应该眼前一亮了，或者说，当我们看到题目说给等式中积分里面的内容时，我们就应该眼前一亮了。这种要求比较高，但是个人认为这个要求还是比较契合当前的考研所要求的。
15.12
变限积分结合一阶线性微分方程
非常简单的一条题，只要你变限积分足够好，微分方程这部分的计算也没有问题，这种题目应该是手到擒来的。
如果这种题目没有正确的话，那就要反思哪里没有做好
15.13
变限积分结合二阶非齐次微分方程、顺便考察函数性质
比较综合的题目
15.14 有坑
结合函数性质考察微分方程
注意，这里的积分曲线，就是微分方程解y=f(x)的曲线
而曲线积分，才是y=f(x)的积分
15.15 思路错误
二阶齐次微分方程、条件的利用能力考察、反常积分的敛散性考察、极限的考察
这里在通过分类得到结果后，如果我们把目光放到f(x)无果时，我们就应该把目光转移到其他地方了
或者说，我们一开始看题目时，我们就应该进行一些必要的联想：题目条件和题目所问的关系？是否能够从这种关系推出其可能的考察内容？本人认为这个还是有点必要的
15.16
一阶齐次型微分方程，带对数
也是认真做即可，没有什么特别好说的
15.17
一阶齐次型微分方程，结合函数性态来考察
这条题的思路，认认真真做即可得到正确的结果
但是值得一提的是，因为我们得到的lny它是单调函数，所以实际上求y的最值，就是求lny的最值。
我们没有必要像答案一样把y的关系式求出来，然后求导找极值点。我们可以直接找lny的极值，而且题目中已经给出了lny的求导结果，这对我们解题的速度还是有很大的帮助的。
15.18
一阶齐次型微分方程带带参数分析
解得正确结果后，我们实际上也可以直接对lny进行周期分析，因为如果y是周期的，那lny也是周期的
15.19 疑似凑数
一阶齐次型带参数分析
这个更没得说了，前面两条题都是这个，而且这条题的答案也是让人两人一黑的不优雅
15.20
一阶线性微分方程、积分计算能力的考察、积分几何能力的考察
这里对计算能力提出一点要求，对于e^x和三角函数的积分二级结论我们还是要背下来的，这个很有用。除此之外，对于旋转体的体积计算，我们稍加平移一下，然后使用华里士公式即可
15.21
抽象函数结合二阶常系数微分方程、条件发现能力的考察、条件使用能力的考察、变形能力的考察
首先，个人认为还是需要先对题目所问进行一些变形再对条件进行其他研究好一点，因为你不知道题目所问的究竟为何，而是把所有东西求出来，这就会造成没有目标而导致多花了一些没必要消耗的时间
我们通过变形很容易得知需要计算的是f(x)在x=1时候的值，所以我们的目标就变成了求f(x)
然后通过条件变化，我们消掉g(x)，很容易得到关于f(x)的二阶常系数微分方程，就可以解题了
15.22
变限积分结合二阶常系数微分方程
这里对变限积分的变形提出了一些小小的要求
15.23 有坑
二阶常系数微分方程的特解组成结构的考察
注意，我们的认知中是没有二阶常系数微分方程的，只要注意这一点即可，其他没有难度
15.24
二阶常系数非齐次线性微分方程的考察，右边没有特征根
非常简单，按照正常流程去做即可
15.25 粗心错误
二阶常系数微分方程，右边有一个二重根
这个特解计算还是比较麻烦的，不要为了装杯口算，很容易出错
15.26 粗心错误
二阶常系数非齐次线性微分方程求解，右边有一个一重根
没啥好说的，就是注意在算出系数之后，不要忘记还有一个x要乘上去
15.27
二阶常系数非齐次线性微分方程，右边有一个特殊的一重根
注意x=0，这个也有可能是一个根，其他就没什么好说的
15.28 思路不优
二阶常系数线性微分方程的解的分析
这里还是推荐使用答案的做法，直接设方程直接代入计算
本人的方法略显复杂：首先需要考虑这个方程是齐次还是非齐次，因为有y=1的缘故，所以为齐次；然后考虑其解的结构，然后构建出对应的特征根方程，然后再构建出微分方程
15.29
二阶常系数齐次线性微分方程的解的分析
这种解的分析，还是要先知道其是齐次还是非齐次才好
具体步骤可以看15.1的个人思路部分
15.30
高阶常系数齐次线性微分方程的解的分析
重要的还是要学会对解的分析，然后构建特征根方程
15.31
高阶常系数齐次线性微分方程的解的结构的考察、无穷小的考察
分析出解，然后利用泰勒公式构建式子即可，很简单的无穷小题目
15.32 疑似凑数
二阶常系数齐次线性微分方程结合函数性质的考察
非常简单，没得说，疑似凑数
15.33 粗心错误
反函数求导的考察，二阶常系数非齐次线性微分方程
这条题也很简单，按照题目要求即可完成
但是注意，不要做着做着，把y又变成x了
15.34 不常规
根据题目提示进行换元，较为奇特的二阶常系数非齐次线性微分方程
根据要求换元后计算即可
但是有点奇怪的是，它只给出了一个值，这样只能确定一个常数。
怎么说呢，感觉有点不常规。。。或者说，猎奇
15.35
高阶齐次线性微分方程的解的分析，包含复数根
直接分析即可，很简单
15.36
高阶齐次线性微分方程的解的分析，包含二重根
直接分析即可，很简单
15.37 粗心错误
一阶常系数线性微分方程的考察，反函数的考察、变限积分的考察
这些还是有很多点需要注意的：
- 一阶常系数线性微分方程中，1/x和-1/x的作为e^f(x)的积分结果是什么东西
- 反函数g[f(x)]=x而不是等于1
- 变限积分求导后，得到的结果还要乘以积分上限的导数
15.38
一阶常系数线性微分方程结合函数性态的考察
懒得喷，这个积分曲线是微分方程解y=f(x)的曲线
而曲线积分，才是y=f(x)的积分
15.39
一阶常系数线性微分方程结合函数性态的考察
没得说
15.40 粗心错误
带n的一阶常系数微分方程
不要害怕，直接做就行，这就是只纸老虎
但是注意积分之后，要补上1/n
15.41 有点意思的同时疑似凑题
一阶可分离变量的微分方程
这里需要进行一下换元，但是题目中没有给出提示，我们要从说给的微分式子中寻找
看到e^(-y)这个东西，应该尝试换元或者转换为一阶常系数线性微分方程去做
15.42
一阶可分离变量的微分方程
简直和15.41是双胞胎，凑题意图很明显
但是感觉两者，只保留这条题就行了
15.43
二阶常系数线性微分方程、全微分的原函数求解
没什么好说的，注意全微分方程的话，个人还是比较推荐折线法
15.44
欧拉方程的考察
很明显的要求你算欧拉方程了
15.45 有意思
二阶可降阶微分方程的求解
其第二问的答案还是比较有意思的
15.46 思路错误
二阶可降阶微分方程
在做本题的时候还是不够纯粹地想到降阶
居然一直盯着y(y-a)(2y-a)变形为u(u-a/2)(u+2/a)，so sad
15.47 疑似凑数
二阶常系数非齐次线性微分方程
纯凑数题
15.48 粗心错误
二阶可降阶线性微分方程
也不知道咋了，1/x和-1/x的作为e^f(x)的积分结果是什么东西我都搞错了
15.49 粗心错误
积分能力的考察、积分的几何应用的考察、微分方程应用题
这里一定要注意，开放后或者1/x的积分后都需要加绝对值
不然即使答案正确，也会被扣分
15.50 有意思
微分应用题、二阶常系数齐次线性微分方程、函数性质、综合分析能力考察
一定要认真分析，还是比较容易出错的，这种啥都考一点的题目，个人认为考研还是比较喜欢考的
15.51 伽马函数
二阶常系数齐次线性微分方程、反常积分
伽马函数一定要熟练于心
15.52 追赶问题
微分方程应用题
本题是闭关修炼原题，例15.28
这条题分析还是比较难的，而且还考察了反向双曲正弦函数的反函数求法，还有对极限的分析
15.53
微分方程，二阶可降阶微分方程，导数的极限定义式
它把解出常数项的条件藏在一个导数的极限定义式中了
15.54
微分方程应用题
个人感觉这里答案的做法略显复杂，答案在求出微分方程的解这一步使用了分离变量
但是本人是直接使用一阶常系数线性微分方程的计算公式，感觉会快一点
15.55 粗心错误
微分方应用题、曲率的考察、计算能力的考察
闭关修炼原题：例15.23
这个计算有点难。。。
15.56
微分方程应用题，函数画图能力的考察
要会画图，不然很容易出错
15.57 粗心错误
微分方程应用题，函数能力考察
很简单，没得说，算错也是粗心算错
