张宇1000题强化篇总结·第十三章

第十三章

注意，这一章有很多题在闭关修炼中可以作为练习，这是必要的训练，不可含糊

13.1

多元函数的偏导存在性判断

使用极限工具进行计算即可，这里是因为绝对值的原因导致函数对x的偏导不存在

13.2

分段的多元函数的偏导和连续性判断

按照流程一步一步做即可，这个是很经典的分段多元函数考察形式

13.3 概念性

绝对值多元函数的偏导、连续性、可导性考察

通过直接计算可以很快得到前面三个的结果，但是对于第四个，我们需要先判断是否可微，并且知道多元函数对x和对y的偏导大小，才能判断4是否正确。不能因为只知道多元函数对x和对y的偏导大小就直接判断4是正确的

实际上，我们可以很轻易地根据x和y与0的关系，写出四个表达式，我们如果能够在脑海或者草稿中大致构架出对应的图像，实际上对我们做题很有帮助——不需要像答案一样计算很多。

13.4

抽象函数的连续性、可微性的考察，对极限定义的理解的考察

我们需要根据题目说给的极限定义，然后利用无穷小来完成第一问

对于第二问，我们需要对可微有一定的理解，才能完成

13.5

具体分段多元函数的连续性、偏导存在性、可微性的考察

以应用题的形式强制要求考生进行分析，这里不可含糊，一定要做对

13.6 概念题

经典分段函数的考察

这种概念题一定要会，不可含糊

13.7 粗心出错

函数可微的理解的考察

从题目说给的极限式子中，我们知道在该点的函数值、x偏导值、y偏导值

注意，不要把符号搞错！

13.8

链式求导法则的考察

对f进行x和y的偏导，得到两个式子，解二元方程即可

13.9

换元能力的考察

观察进行换元就可以得到函数，就可以处理了

13.10 有坑

带积分的二次偏导考察

注意，像本题一样，如果积分符号和积分上限（下限）里面都出现了x，那么我们第一次求导的时候就不能对x求偏导，而是需要先对y求偏导，再对x求偏导

闭关修炼中也有一条类似的题目，感觉这个挺坑的，不知道为什么张宇不讲

13.11

具体多元函数以隐函数的形式考察二次偏导

可以直接对两边求偏导，也可以使用全微分，更可以使用隐函数求导的公式解答

这种是最简单的形式，后续还有更难的

13.12

带指数函数、三角函数的隐函数求导的考察

这里考察全微分，那么我们只需要一次偏导，所以这里使用隐函数求导公式是一个不错的选择

13.13

全微分概念的考察

需要简单理解全微分的性质，就可以完成此题，还是比较简单的

13.14

带三角函数、变限函数的隐函数求导的考察

和例13.12一样，考察全微分，那么我们只需要一次偏导，所以这里使用隐函数求导公式是一个不错的选择

13.15

带对数函数、变限函数的隐函数求导的考察

注意了，这里问的是二阶偏导，并不是和13.14一样的一阶偏导

这种题目的做法依旧有很多种，可以像答案一样，先使用隐函数求导公式，先将一阶导求出来，再求二阶导

但是我的方法是两边先对x和y求偏导，并计算其值，然后再对两边求一次偏导，得到二阶偏导和一阶偏导的混合式子，代入值即可得到结果

13.16

带对数和抽象函数的抽象复合多元函数的偏导计算考察

这种题目，直接计算偏导，然后代入式子中，很容易就能得到结果了

如果算错了，一定是你的问题，再检查一遍

13.17

带分式的抽象复合多元函数的偏导计算考察

同13.16

13.18 疑似凑数

隐函数二阶导的考察

懒得喷，前面已经讲了

13.19

带指数函数、变限积分的隐函数求导的考察

个人的方法是两边先对x和y求偏导，并计算其值，然后再对两边求一次偏导，得到二阶偏导和一阶偏导的混合式子，代入值即可得到结果

也可以用其他方法，只要结果没有问题就行

13.20

单纯抽象复合函数的偏导考察、偏导求导能力的考察

没什么好说的，求导计算题

注意一下，f先对1再对2求偏导等于f先对2再对1求偏导，因为f有二阶连续偏导数

13.21

多元函数的极值考察

这里考的就稍微多了一点，我们需要求出一阶导和二阶导，相比前面那种直接求导的题目要求就更高了一点

13.22 概念题 粗心

二阶导与极值的关系

注意，题目这里给的是二阶导连续，那么我们要考虑就很多了，除了小于0的部分，我们也要考虑等于0的部分，很显然，如果二阶导连续的话，等于0也可以可能存在极值的

13.23

具体复合多元函数、带参数的极值讨论问题

这里需要认真并且小心的计算一阶偏导和二阶偏导，计算量还是比较大的

13.24 疑似凑数

简单二元函数的驻点和极值点判断

很简单，感觉被看不起了，疑似凑数

13.25

具体复杂函数的无条件极值计算问题

这里计算还是比较难得，特别是二阶偏导部分

注意，如果这里是小题，我们在通过一阶偏导的计算得到驻点后，我们实际上可以根据f的形式直接代入值计算了，并不需要再傻乎乎地计算二阶偏导

13.26

具体多元函数的隐函数求无条件极值问题

隐函数求导或者两边直接求偏导

本人的做法是直接两边求偏导。看到答案里面使用隐函数求偏导后，还需要对一个比较复杂的分式求导，这个还是有点痛苦的说实话

13.27

具体多元函数的带参数的隐函数条件下求无条件极值问题

参数判断，直接求一阶和二阶导即可

13.28

约束条件下的最值求解

这里要灵活一点，求z的绝对值的最值，实际上就是求z的平方的最值。然后使用拉格朗日乘法求解即可。

我实在不理解为什么张宇在后面要出这么多拉格朗日乘法的题目，大抵是因为很重要吧，应该不会是凑题

13.29

约束条件下的最值求解

实际上这条题就是13.28，只不过问的委婉了一点，实际上也是求z的绝对值的最值，直接使用拉格朗日乘法求解即可

13.30 思维扩展

约束条件下的最值求解

这条题使用拉格朗日计算还是比较困难的，但是比较奇怪的是，本人算出的最小值是根号五分之一，有点难绷

这条题的背景应该是在三维坐标系中，两个面的交集与原点的距离，这个就提示我们：如果遇到这种三维空间求距离最值的题目，不妨考虑一下使用拉格朗日乘法，毕竟要活学活用嘛

13.31

函数性质考察、条件最值考察

本题就问的稍微委婉了，我们要想，如果这条题不出现在十三章，我们会想到这么做吗？

这条题在拉格朗日计算中也有技巧，我们实际上可以根据条件消去x平方和y平方，最终只要计算2-3xy的最大值即可。只需要注意最后换算之后2-3xy是位于分母的，而且头顶上还有一个2*2，并且旁边还有一个1/2

13.32

偏导的积分考察、无条件极值的计算考察

这种题目相对就考的多一点，首先需要通过积分工具推出u，然后再用无条件极值计算方法来计算极值

后面还有更多这种题目

13.33

偏导的积分考察、无条件极值的计算考察

同13.32

13.34 粗心算错

偏导的积分考察、约束条件下最值的计算考察

首先需要通过积分工具推出u，然后再用条件最值的计算方法来计算极值

13.35 计算量大

带参数的条件最值问题

这种参数问题实际上是最烦的，计算的时候很麻烦，很坑爹，狗看了都摇头

13.36

简单多元函数的范围内的最值考察

这里需要使用到无条件极值和条件最值的方法来计算最值，最简单的综合性题目

13.37

全微分的性质考察、极值的判断

这里结合了两部分的内容

13.38

具体函数的极值判断

很简单的题目，千万不要算错

13.39

较为复杂的极值判断

计算有点复杂，但是可以直接代入选项判断

13.40

无条件极值的应用、多元函数求偏导能力的考察

求偏导，比较大小即可

13.41

定积分的多元函数最值考察

通过换元法就可以进行计算，将计算得到的结果，也可以老老实实计算，但是本人绝对代入选项计算会更快

13.42 疑似凑数

非常简单的无条件极值的计算

很简单，没话说

13.43 计算量大

多元函数的区域最值问题的计算

这条题计算有点复杂，里面的坑比较多，不好化简，很容易踩坑

感觉这种题目就是典型的将考生算力作为筛选度的题目

13.44

具体抽象函数的区域最值考察

使用无条件极值和条件最值的方法做

值得一说的是，本人在条件最值的情况下面没有使用拉格朗日乘法，因为我发现结合条件之后，二元函数就变成了一元二次函数，它的最值实际上还是很好求的。

这就告诉我们，并不一定要只想到使用拉格朗日乘法，做人还是要灵活一点

13.45

抽象函数的极值考察

注意，这里考的是充分条件

直接计算即可，这里问的是抽象函数

13.46

带参数多元函数的极值考察

带参数进行求导讨论即可

13.47 疑似凑数

多元函数的无条件极值考察

不懂为什么张宇这里要再出一个题目，难到是想打别人一个措手不及吗

13.48 内容丰富

偏导数的积分求取、积分的几何应用

这里需要细心一点进行计算，特别是积分的计算，这里实际上即考察了积分的几何应用，即旋转体的体积，也考察了反常积分的求导，也就是伽马函数，还考察了指数函数和三角函数的积分值，实际上考的东西还挺多的

13.49 疑似凑数

二阶偏导推原函数的考察

不懂为什么还要出这么多二阶偏导推原函数，前面不是已经出了很多了吗

13.50 疑似凑数

二阶偏导推原函数的考察

没什么特点，想举报

13.51

全微分性质的理解，求导能力的考察

这条题可以老老实实求导，但是实际上可以直接使用对称性秒杀。

但是在考场中，为了求稳，还是要计算一番来让自己心安

13.52

全微分性质的理解，求导能力的考察

与13.51一样，但是计算难度复杂很多

13.53

偏导之间的关系化简，条件中含有偏导书的等式

可以对f(u, v)进行x和y的偏导来计算

但是，实际上也可以对f(x,y)进行u和v的偏导计算，本人就是使用这种方法，感觉还是不错的

13.54

函数为变限积分，偏导之间关系化简，条件中含有偏导书的等式

还是一样，直接对z进行偏导计算，然后将得到的结果代入说给方程就可以解决

13.55 有意思

证明题

这里需要想到使用反证法进行计算

13.56

积分的几何性质的考察，条件最值的考察

这里需要正确技术上出定积分的值，然后这是限制条件

然后得到计算式子，再通过拉格朗日乘法计算，注意这里使用拉格朗日计算也是有技巧的，我们不需要直接计算b-a的三次方的最值，实际上我们只需要计算b-a的最值即可。随后，我们通过拉格朗日计算的过程中就会发现好像只有一个最值，不要慌，要灵活使用特殊点（如端点）的值，代入就上就能得到正确的结果

13.57 新颖

含有偏导数等式的微分方程求解题目

这里需要化简，然后得到一个微分方程，然后计算这个微分方程即可，注意，这里需要求解微分方程之后再进行一次积分，所以有两个未知常数

13.58

含有偏导数等式的微分方程求解题目

思路同13.57