张宇1000题强化篇总结·第八章
张宇1000题强化篇总结·第八章
第八章
这一章内容还是要判断反常积分的敛散性
8.1
具体的变限积分的导数存在性考察
这里考察了变限积分的存在性，一定要知道变限积分导数存在性和里面的函数的关系：可取间断点和跳跃间断点对变限积分的导数存在性的影响。本质上，就是变限积分在一点的左右导数，等于里面的函数的左右极限，从此我们可以发现，变限积分在一点的导数和里面函数在一点的值实际上是没有关系的！
8.2
抽象性变限积分性质的考察
变限积分的周期性，在被积函数是周期的前提下，其一个周期内的积分值必须为零，否则变限积分的值会不断积累，也就无法构成周期函数
8.3
极限定义性式子、考察原函数的存在性、变限积分导数的存在性
原函数存在性：有原函数的函数一定没有第一类间断点和无穷间断点，可能有振荡间断点
变限积分导数存在性：变限积分在一点的导数值，左导数等于被积函数的左极限，右导数等于被积函数的右极限。
注意，变限积分只要收敛，就是连续的。
8.4
具体不同函数、相同积分上下限的积分值大小判断
关键：找到题目中三个不同函数的相同之处和不同之处，根据相同之处，对三个函数同时进行一到两步的变换，然后再根据变换后的不同之处，判断大小。与之完全不同处理方式的是8.7
8.5
相似函数同积分上下限的大小比较
这里需要使用到sinx和x比值之间的不等式
8.6
具体函数不同区间积分值的大小比较
这种题目最好是可以把大致图像画出来即可，然后分区间讨论，再将其加起来即可
8.7
具体不同函数变限积分的大小笔记哦啊
这里处理的方式与8.4截然不同
这里的处理方式就是，需要两两进行暴力比较，列出等式并进行求导，然后讨论函数的状态。
但是这里发现一个快速的做法：观察三个具体函数，发现可以使用反常积分的敛散性来辅助判断大小，发现x在无穷大时，第一个函数是收敛的，而第二个、第三个函数是发散的，再观察发现第二个函数和第三个函数在x趋于无穷大的时候，函数整体趋于零的速度是有大小之分的：第三个函数比第二个函数慢。所以可以猜测第一个函数最小，其次到第二个函数，最后才到第三个函数。
8.8
具体不同函数、相同积分上下限的积分值大小判断
这条题的做法与8.4略有不同。具体如何去做还是要看具体题目的被积函数形式。
根据这条题的被积函数，很快就可以判断出第二个函数和第三个函数的大小关系，然后第一个函数与其他函数的形式差别比价大，我们可以转移到导数去分析即可，因为其导数的形式与第二个函数的导数十分类似。
总的来说，这种题目还是要灵活分析，不要过于局限于一种方法。这里张宇留了很多条这种比较选择题，应该也是想告诉我们这个道理吧
8.9
变限积分和被积函数的等式处理
将变限积分里面的被积函数的自变量改为与变限积分无关，然后利用微分方程的知识去解决问题即可，注意，这种微分方程得到结果后，一般是要计算出常数参数的大小的。
8.10
反常积分的敛散性判别
这条题不难，但是一定要知道：在x趋于无穷小时，lnx的无穷大越等于一个非常小幂次的1/x
8.11
反常积分的敛散性判别——两个不同幂次相加
若趋于无穷大，则需要看幂次比较大的系数a，若趋于无穷小，则需要看幂次比较小的系数b
8.12
复合反常积分的敛散性判断
一定要知道，反常积分的敛散性，实际上是去对其奇点和瑕点处进行无穷小（大）比阶。
所以这条题一定要将这里拆作两个积分，一个是0到1/2，一个是1/2到1
8.13
关于lnx绝对值的反常积分敛散性分析
这里注意要进行拆分，将0～2拆为0～1加1～2，然后再逐个进行分析
8.14
反常积分的敛散性判别
进行无穷小的比阶，然后阶梯即可
8.15
多个反常积分的敛散性判断
还是要抓住反常积分的敛散性判断的重点：找奇点、瑕点后判断是否需要分拆开，然后与熟悉的幂函数无穷小比阶
8.16
多个反常积分的敛散性判断
这条题实际上是将8.15里面的内容考的更加灵活了，不再是传统的x和lnx之间的敛散性，很有考研出题防背书大法的感觉。但是只要抓住本质，即可做题：找奇点、瑕点后判断是否需要分拆开，然后与熟悉的幂函数无穷小比阶
8.17 集大成者
前面所有敛散性判别的集大成者。
根据题目，分析出其奇点和瑕点后，我们可以分成两个积分，一个是1～2，一个是2到正无穷。前者由于sin的原因，所以幂次约等于p-1的x幂函数（有移位），后者约等于p次的x函数，这样就可以得出结果了。
8.18
黎曼思想的考察
主要是会用黎曼思想，将连加或者连乘的问题转化为积分。注意，这里是变限积分。
8.19
黎曼思想的考察、放缩能力的考察
通过黎曼思想将其转换，然后进行放缩，再通过夹逼准则得到结果
