张宇1000题强化篇总结·第五章

第五章

这里我有话说，个人认为这部分的内容，还是有一些题目过于重复，过于注重计算。但是当前考研的重心，至少在微分部分，已经慢慢偏移到技巧中了。考研中计算部分主要集中在积分部分，特别是二重积分、多重积分部分中。

所以，如果在这一章遇见一些题目纠结很久，可以先放下，然后看答案吸收。

5.1

观察能力、求导、极限的考察

观察内容，直接做

5.2

题目不难，但是如果能够掌握答案的做法会更好

使用泰勒直接秒好吧。答案中法一的无穷小与极限也可以学习一下。

5.3

可导函数在端点处取得最值的必要条件。题目可以秒，但是题目背后的知识很丰富

看了答案之后发现，这条题目背后的东西很多，其中就涉及到了函数的升阶和降阶。对于一个函数的最值或者极值，我们可以根据导数定义知道导数的大小

5.4

变限积分的单调性考察

要清楚知道函数在一个区间中，无论递增递减，其值大于零的时候，它的变限积分递增，反之则递减。

5.5 算错了

高中题目、最后进行极限的考察

这个跟高中导数题差不多，懒得喷

5.6 算错了

高中导数题

高中导数题再加上一个极限，怀疑张宇你是拿来凑数的

5.7

含绝对值的积分性质判断

遇到这种绝对值，可以考虑直接拆积分

5.8

带积分套子的极值求导问题

直接求导即可，但是过程可能略有复杂，感觉有点偏离了考研重心

5.9 定义理解错误

单调和函数导数性质的结合定义考察

要注意，如果仅仅凭借在一点的导数值与零的关系，是无法支配任何区间的单调性的，它只能决定区间周围的点相对这一点的函数值的大小关系。

能够支配一个区间的单调性的，只有这个区间内连续，这点的导数值的大小才可以支配周围所有点的单调性，即领域内的单调性

但是，从该题目中我们还发现一个东西，那就是如果我们知道了一点的二阶导数与零的大小关系，并且在这个基础上还知道了该点的一阶导数的大小为零，那么我们可以判断出这个区间的单调性，即区间内所有点的变化趋势。这是因为这一点的二阶导表示的是：这一点周围的点的一阶导的值与该点处的一阶导的值的关系，那么根据这个可以知道该点周围所有点的一阶导与该点的关系，借此可以判断该点周围所有点之间的关系。

一定要深入理解点和区间的区别和联系。

我们借此可以深入研究一下一点的导数值和该点的导函数的极限的关系：

一点的导数值，只是展示了这一点与领域内所有点的函数值之间的大小关系，与这一点领域内连续与否、导函数存在与否没有任何关系
一点的导函数的极限，来源于函数通过求导公式后得到的导函数，在该点的极限。注意，求导公式只是一个工具，并不能在所有情况下面都适用。
本质上两者没有关系，所以两个可以完全不等。这里可以举出函数“f(x)=x^2*sin(1/x)，when x≠0；f(x)=x，when x=0”。更多例子可以看闭关修炼P145的注释。
但是在相当普遍的情况下，二者又是相等的。可是考研的命题人就是喜欢抓住这里出题。
这里插一嘴，一点的导数值和该点的导函数的极限相等是因为导数极限定理：如果f(x)在x0的某领域内连续，在x0的去心邻域内可导，且导函数在x0处的极限存在（等于a），则f(x)在x0处的导数也存在并且等于a。这个定理的重点不在于说，一定要求f(x)在x0处可导，而是用求导公式这个工具将函数导数求出来，再用极限工具推出这一点的极限值，如果这一点的极限值存在，就可以知道在这一点的可导。

很好，都到这里了，我们不如可以回顾一下函数和导函数存在性上的一些区别，能够帮助自己更好地去理解函数的微观性态：

函数在一点的极限存在，是不可以说明函数在这一点连续的。因为这个只能说明函数在在该点周围的点都趋于同一个值，那这个值，跟函数在该点的值没有必然的联系。
函数如果可导，并且导函数在一点的极限存在，可以说明函数在这一点连续的。这里涉及到一个定理，下面就会讲到。如果需要证明的话，列出定义式，然后洛必达即可证明。
如果函数在一点连续，并且在合格点附近的切线均存在并趋向于同一个极限位置，此极限就是导函数在该点的值。
如果函数存在，函数它本身是没有介值性的。但是如果这个函数的导数存在，这个函数的导函数本身就会有介值性。这是因为如果一个函数在一个区间内可导，即其导数在一个区间内存在，说明这个函数在这个区间中，点与点之间的关系很强，相邻点之间的靠近程度，是比仅函数存在、甚至比函数连续还强的，因为只有在这个基础上，其导数才会存在。
对于这个导函数的介值性，也有一个定理：如果函数在一个闭区间上可导，并且在闭区间上，导函数的左端点的极限值和右端点的极限值不等，那么就会存在一点在这个闭区间的同大小开区间上，这个点的导函数值，在导函数的左端点的极限值和右端点的极限值之间。
这个介值性定理可以推出两个很有用的东西：如果导函数存在并且不等于零，说明导函数必保号（恒正或恒负）；如果导函数在某个区间上存在，那么这个导函数在这个区间上无第一类间断点，但是可能会存在振荡间断点。因为有些振荡间断点是符合介值性，并且在这个振荡点周围的点之间的也是连续的，如果补充了定义，那么一个导函数具有振荡间断点的函数，也可以处处可导的。换句话说，如果f(x)可导，那么它的导函数可能连续，也可以含有振荡间断点如“f(x)=x^2*cos(1/x)，when x≠0；f(x)=x，when x=0”，具体看闭关修炼P96.

5.10

浅浅考了一下极值、拐点和泰勒

直接做，不用说，很简单

5.11

考察能否发现并适用隐藏条件

不要只局限于表面的条件，尝试发现更深层次的条件。当题目说函数有连续导数时，就需要警惕了。

5.12

多渐进线分析

注意，这种渐进线问题一定讨论好正负号，注意注意

5.13

结合积分、考察拐点和极值

一定要认清楚给出的图像是导函数的图像。

5.14 疑似凑数

多渐进线分析

与5.12几乎一致，疑似凑数

5.15

多渐进线分析

换一种考察多渐进线，一定要警惕这种问题，如果没有分析出正负两条斜渐进线一定要警惕，因为这种题目大概率会出两条正负斜渐进线

5.16 有疑问

偏题一个，非常邪门

这里不知道为什么答案后面能给出极限的结果

5.17

求斜渐进线问题，实际上求极限

求极限要学好，不然会错的很惨

5.18

隐函数求极值问题，实际上就是隐函数求导

隐函数求导学好即可

5.19

一点的性质的浅要分析

直接根据所给条件，发现还可以求一次导，直接求即可

5.20 有疑问

偏题一个，怪的要命

不知道答案是怎么说的，感觉太果断了，看不懂，心累

5.21 粗心有错

要注意题目条件，不要漏掉

根据导函数判断函数的拐点，直接看导函数单调性变化的点。

5.22

微分方程定义式求值域

一定要分辨出这个是微分方程

5.23

求积分定义式——变限积分的最值

变限积分的最值，直接找函数的零点

5.24

判断变限积分的最值

根据题目条件，直接找到导函数的零点进行讨论即可

5.25

函数族定义式、极限考察、函数的心态作为媒介

一步步进行计算即可，计算量有一点

5.26

求拐点个数

暴力求导到二阶导进行分析即可，没有必要到三阶导

5.27 疑似凑数

求极值点和拐点

太简单，懒得说

5.28

求斜渐进线方程的选择题

直接算即可，非常简单，选择题更简单

5.29

复合函数求切线方程

复合函数求导即可

5.30

复合函数求凹凸性

复合函数求导即可

5.31

普通函数的拐点、切线结合考察

直接做即可，十分简单

5.32

带三角函数的简单函数极值点考察

直接做即可，十分简单

5.33

简单函数的拐点考察

直接算即可，不要算错了

5.34

函数族的单调性分析

直接做即可，感觉永远不会这样考

5.35 定义证明

定义证明，一定要会

请拉格朗日上身就会做了

5.36

带参数的普通函数最值问题，其实就是高中导数题

直接做即可，注意不要第一问第二问过于割裂

5.37

导数的单调区间、极值、凹凸性、拐点考察

一个一个算即可，十分简单

5.38 感觉答案错了

一步步老老实实算就行了，感觉答案计算的时候好像错了

5.39

一步步进行分析即可，注意不要算错

注意根据结果需要分类进行分析

5.40 疑似凑数

简单函数的单调区间、极值、极值点、凹凸性、渐进线考察

感觉没啥意思

5.41 疑似凑数

简单函数的单调区间、极值、极值点、凹凸性、渐进线考察

莫名其妙加大计算量，感觉没有必要这么练

5.42

求参数方程的切线方程

结合参数方程求导内容，一步步算即可

5.43

求参数方程的截距

结合参数方程求导内容，一步步算即可

5.44

变限积分隐函数条件求曲率半径

很好的题目，综合和求导、变限积分求导、隐函数求导，再结合了曲率半径，所有内容都考了

5.45

参数方程求曲率

直接求即可

5.46

隐函数求曲率

直接求即可

5.47 疑似凑数

参数方程求曲率

疑似凑数

5.48 疑似凑数

隐函数求曲率

疑似凑数，感觉后面的内容比较差