张宇1000题强化篇总结

第一章

略，因为没做

第二章

略，暂时先不做总结，后续找时间再做总结

第三章

3.1

函数在一点的求导问题的研究

对每个选项进行定义求导，然后找到不符合要求的那一个

3.2

导数定义的考察（如果一些基本定义抓不牢，很容易就犯错）

联系导数的定义，观察题目的选项中，哪些选项转了空子

3.3

条件变形、复合函数求导

进行变形，发现变形后的结果与普通的导数定义不同，但是可以看出是复合函数

3.4

判断点的连续性、可导性和导数值（根据学生的惯性，真实结果与惯性思维结果完全相反的反差题目）

不要被题目的样子所影响，越是这样，越需要认真地、脚踏实地的分析

3.5

分析条件，使得左导数等于右导数（错因：太过于执着与一小部分的值从而忽略了大局，算是犯傻）

根据条件，正常进行分析即可，如果在极限运算中看到无穷大和无穷小，应该高兴而不是害怕。

3.6

对定义的深入理解，复合绝对值类型的求导

题目不难，但是不要简单地理所当然认为，最好掌握严格的证明过程

3.7

考察一点导数的典型问题，需要用到复合函数求导、无穷小乘有界定理

用定义求导，然后进行无穷小的运算分析

3.8

考察使得区间范围内可导的求参数经典问题

区间可导可知连续，通过连续和可导列出极限等式，然后可解。
看似简单，但是只有深刻掌握，方能轻松驾驭。

3.9

绝对值的微观分析问题

需要掌握绝对值函数和普通函数在零点的导数的区别，只要掌握这里的微观区别，即可做题。

3.10

抽象函数的区间求导和点求导结合考察的经典问题

还是有一定的陷阱的，稍有不慎就会零分。最后需要分段。
另外，掌握好泰勒做这种类型的题目很迅速。

3.11

抽象复合函数的导数求导、导数在一点的连续性分析

算是3.10的升级版。
要注意分清楚导数和导数的极限的区别。

3.12

具体复合函数的连续性、可导性、导数的连续性分析

对连续性、可导性、导数的连续性进行分析，要清楚这个流程，虽然简单，但是也容易出错，不要因为简单而忽视它，从而导致翻车。

3.13

绝对值求导的微观分析

与3.9一致，看答案可以知道结论。
实际上，个人认为这条题的出现，并不是为了凑数，而是因为这部分的内容非常重要，在后面再给你一条选择题，看你能否掌握。若能秒杀该题，方为掌握。

3.14

具体复合函数的连续性、可导性、导数连续性、二阶可导性分析，典型惩治好高骛远。

需要一步步进行分析，不要直接得出结论，不然容易翻车。

3.15

抽象函数的极限考察，本质是考察变形和导数定义的掌握

知道问的公式变形后的样子，和导数定义的样子，然后观察两者区别即可得解。

3.16

抽象函数的极限考察，本质是考察变形和导数定义的掌握

知道问的公式变形后的样子，和导数定义的样子，然后观察两者区别即可得解。
PS：不要半路开香槟，不要漏东西。

3.17 出大错误

函数在一点的导数和导函数极限的区别分析（错因：先入为主地认为考察的是导函数的性质，太急了）

抓住性质，进行分析，此题可以作为结论。
C选项用反证法可证，其他选项均有对应的反例，这种反例可以记下。

3.18

导数求导定义式的灵活变化能力考查、导数的奇偶性考查

如果能够看出给出函数的奇偶性，并且用导数定义式的第二形态进行分析，就会很迅速。
这样考的目的就是，给思维已经局限于导数定义式的第一形态的考生一点小小的冲击，筛选出可以灵活转换的考生。

3.19

简单题干，题干一眼黑，但是内容丰富的典型题目

虽然一些其他方法可以得到一样的结果，但是不严谨。
答案使用中值定理解题，十分有说服力和严谨性。

3.20

典型的复合抽像的一点导数分析

抓住定义，按照流程分析即可，这种题已经见了很多次了。
如果能够灵活使用泰勒，可以加速。

3.21

简单题干，但是信息量很大的典型题目。也考察了变形。

根据题目条件信息，和等式中隐藏的条件，才可以得到正确的结果，缺一不可。

3.22

3.21的升级版，将一些条件的获取设置了一些门槛，也考察了变形

掌握泰勒可以很快加速。
PS；在分式的相同变换的时候，要注意分母系数变化的时候，整体的系数如何变换

第四章

4.1

技巧题，需要深入理解方能快速解答，否则将会耗时很长，有一定区分度。

必须要深刻利用题目条件，利用好函数和所给条件的直接关系、导数关系，就可以快速解题。
如果使用暴力解法，会耗时很长

4.2

简单求导题目

直接两边求导，代值即可

4.3

明地里求极限，暗处里隐函数求导

大致可以预判到题目的类型，然后一直洛必达，一直求导到最后的二阶导，可以两者同时进行。

4.4

经典大计算量的题目，很容易算错，真的很容易

直接老老实实计算就行了

4.5

反函数求二阶导问题

直接算就行了，没啥好说的

4.6

复杂函数求导

可以直接硬算，但是可以转化为隐函数进行两边求导的话，可能也是一种不错的方法。

4.7

普通隐函数求二阶导问题

直接算就行了，注意不要算错。
可以两边继续求二阶导，也可以对一阶导的结果进行分式求导。个人更喜欢第一种。

4.8

带积分定义式求二阶导问题

直接两边求两次导就行了，答案给的方式是对一阶导的结果再求分式导，个人感觉答案的比较麻烦。

4.9

带参数方程求二阶导问题

答案的思路是y等式对t求二阶导，挺好的。

本人的思路是返程联立得到y关于x的式子，再求二阶导，略显暴力，所以做的时候需要注意正负号（估计是出题人对暴力做题的惩罚🥵）。

4.10

带积分定义式求二阶导 + 极限考查

按照流程做就行了，但是做到现在，一定对这种考点复合的题目有提防的意识。

4.11

泰勒能力的考查

做题的时候直接泰勒上身，将函数展开就行了

4.12

变形 + 二阶导

首先要会变形，这个是门槛，然后看到变形后的结果，后续就简单了

4.13

观察微分式子 + 分式的n阶导

首先要会辨别出这个是微分式子，不然做半天也不知道在做什么。

对于分式的计算，不要弄错了

注意这里考察的是n阶导函数，注意这种类型的题目跟考察x=0时n阶导函数值这种类型题目（如4.14）的区别。

4.14

第一眼看不懂，但是求一次导后豁然开朗

求一次导后，然后泰勒展开，求x=0时n阶导函数值

注意这种类型的题目跟考察n阶导函数这种类型题目（如4.13）的区别。

4.15 错题

考察函数性态对导函数的影响

不仅要看出函数这里周期是2π，也要看出函数这里的周期是π
函数是偶函数，2n+1次导后就是奇函数

其实就是犯傻了，这都看不出来，寄寄寄

4.16

绝对值导数存在性的考察

只要熟练掌握绝对值函数的微观性态，再简单结合一下这一章的内容，应该能秒杀

4.17

研究起来复杂，但是有技巧的选择题

使用特殊值法直接秒杀，如果直接研究会很浪费时间，不推荐后者。

4.18 方向错误，建议多看

根据题目提示，展开为泰勒

注意，展开泰勒之前，需要一定的变形，这个有一定门槛。

正是因为本人过不了这个门槛，所以直接对函数多次求导，导了半天，以为找到的规律，没想到只是规律的一部分，以此为戒

4.19

变形 + 分式求n阶导

变形后直接进行分式求n阶导即可

4.20

微分方程定义式 + n阶导

求解出微分方程，解出参数，再进行分式求n阶导的过程即可。

要有辨识微分方程的意识，例如题目如果给出了一个点的函数值，就需要警惕了。

第五章

这里我有话说，个人认为这部分的内容，还是有一些题目过于重复，过于注重计算。但是当前考研的重心，至少在微分部分，已经慢慢偏移到技巧中了。考研中计算部分主要集中在积分部分，特别是二重积分、多重积分部分中。

所以，如果在这一章遇见一些题目纠结很久，可以先放下，然后看答案吸收。

5.1

观察能力、求导、极限的考察

观察内容，直接做

5.2

题目不难，但是如果能够掌握答案的做法会更好

使用泰勒直接秒好吧。答案中法一的无穷小与极限也可以学习一下。

5.3

可导函数在端点处取得最值的必要条件。题目可以秒，但是题目背后的知识很丰富

看了答案之后发现，这条题目背后的东西很多，其中就涉及到了函数的升阶和降阶。对于一个函数的最值或者极值，我们可以根据导数定义知道导数的大小

5.4

变限积分的单调性考察

要清楚知道函数在一个区间中，无论递增递减，其值大于零的时候，它的变限积分递增，反之则递减。

5.5 算错了

高中题目、最后进行极限的考察

这个跟高中导数题差不多，懒得喷

5.6 算错了

高中导数题

高中导数题再加上一个极限，怀疑张宇你是拿来凑数的

5.7

含绝对值的积分性质判断

遇到这种绝对值，可以考虑直接拆积分

5.8

带积分套子的极值求导问题

直接求导即可，但是过程可能略有复杂，感觉有点偏离了考研重心

5.9 定义理解错误

单调和函数导数性质的结合定义考察

要注意，如果仅仅凭借在一点的导数值与零的关系，是无法支配任何区间的单调性的，它只能决定区间周围的点相对这一点的函数值的大小关系。

能够支配一个区间的单调性的，只有这个区间内连续，这点的导数值的大小才可以支配周围所有点的单调性，即领域内的单调性

但是，从该题目中我们还发现一个东西，那就是如果我们知道了一点的二阶导数与零的大小关系，并且在这个基础上还知道了该点的一阶导数的大小为零，那么我们可以判断出这个区间的单调性，即区间内所有点的变化趋势。这是因为这一点的二阶导表示的是：这一点周围的点的一阶导的值与该点处的一阶导的值的关系，那么根据这个可以知道该点周围所有点的一阶导与该点的关系，借此可以判断该点周围所有点之间的关系。

一定要深入理解点和区间的区别和联系。

我们借此可以深入研究一下一点的导数值和该点的导函数的极限的关系：

一点的导数值，只是展示了这一点与领域内所有点的函数值之间的大小关系，与这一点领域内连续与否、导函数存在与否没有任何关系
一点的导函数的极限，来源于函数通过求导公式后得到的导函数，在该点的极限。注意，求导公式只是一个工具，并不能在所有情况下面都适用。
本质上两者没有关系，所以两个可以完全不等。这里可以举出函数“f(x)=x^2*sin(1/x)，when x≠0；f(x)=x，when x=0”。更多例子可以看闭关修炼P145的注释。
但是在相当普遍的情况下，二者又是相等的。可是考研的命题人就是喜欢抓住这里出题。
这里插一嘴，一点的导数值和该点的导函数的极限相等是因为导数极限定理：如果f(x)在x0的某领域内连续，在x0的去心邻域内可导，且导函数在x0处的极限存在（等于a），则f(x)在x0处的导数也存在并且等于a。这个定理的重点不在于说，一定要求f(x)在x0处可导，而是用求导公式这个工具将函数导数求出来，再用极限工具推出这一点的极限值，如果这一点的极限值存在，就可以知道在这一点的可导。

很好，都到这里了，我们不如可以回顾一下函数和导函数存在性上的一些区别，能够帮助自己更好地去理解函数的微观性态：

函数在一点的极限存在，是不可以说明函数在这一点连续的。因为这个只能说明函数在在该点周围的点都趋于同一个值，那这个值，跟函数在该点的值没有必然的联系。
函数如果可导，并且导函数在一点的极限存在，可以说明函数在这一点连续的。这里涉及到一个定理，下面就会讲到。如果需要证明的话，列出定义式，然后洛必达即可证明。
如果函数在一点连续，并且在合格点附近的切线均存在并趋向于同一个极限位置，此极限就是导函数在该点的值。
如果函数存在，函数它本身是没有介值性的。但是如果这个函数的导数存在，这个函数的导函数本身就会有介值性。这是因为如果一个函数在一个区间内可导，即其导数在一个区间内存在，说明这个函数在这个区间中，点与点之间的关系很强，相邻点之间的靠近程度，是比仅函数存在、甚至比函数连续还强的，因为只有在这个基础上，其导数才会存在。
对于这个导函数的介值性，也有一个定理：如果函数在一个闭区间上可导，并且在闭区间上，导函数的左端点的极限值和右端点的极限值不等，那么就会存在一点在这个闭区间的同大小开区间上，这个点的导函数值，在导函数的左端点的极限值和右端点的极限值之间。
这个介值性定理可以推出两个很有用的东西：如果导函数存在并且不等于零，说明导函数必保号（恒正或恒负）；如果导函数在某个区间上存在，那么这个导函数在这个区间上无第一类间断点，但是可能会存在振荡间断点。因为有些振荡间断点是符合介值性，并且在这个振荡点周围的点之间的也是连续的，如果补充了定义，那么一个导函数具有振荡间断点的函数，也可以处处可导的。换句话说，如果f(x)可导，那么它的导函数可能连续，也可以含有振荡间断点如“f(x)=x^2*cos(1/x)，when x≠0；f(x)=x，when x=0”，具体看闭关修炼P96.

5.10

浅浅考了一下极值、拐点和泰勒

直接做，不用说，很简单

5.11

考察能否发现并适用隐藏条件

不要只局限于表面的条件，尝试发现更深层次的条件。当题目说函数有连续导数时，就需要警惕了。

5.12

多渐进线分析

注意，这种渐进线问题一定讨论好正负号，注意注意

5.13

结合积分、考察拐点和极值

一定要认清楚给出的图像是导函数的图像。

5.14 疑似凑数

多渐进线分析

与5.12几乎一致，疑似凑数

5.15

多渐进线分析

换一种考察多渐进线，一定要警惕这种问题，如果没有分析出正负两条斜渐进线一定要警惕，因为这种题目大概率会出两条正负斜渐进线

5.16 有疑问

偏题一个，非常邪门

这里不知道为什么答案后面能给出极限的结果

5.17

求斜渐进线问题，实际上求极限

求极限要学好，不然会错的很惨

5.18

隐函数求极值问题，实际上就是隐函数求导

隐函数求导学好即可

5.19

一点的性质的浅要分析

直接根据所给条件，发现还可以求一次导，直接求即可

5.20 有疑问

偏题一个，怪的要命

不知道答案是怎么说的，感觉太果断了，看不懂，心累

5.21 粗心有错

要注意题目条件，不要漏掉

根据导函数判断函数的拐点，直接看导函数单调性变化的点。

5.22

微分方程定义式求值域

一定要分辨出这个是微分方程

5.23

求积分定义式——变限积分的最值

变限积分的最值，直接找函数的零点

5.24

判断变限积分的最值

根据题目条件，直接找到导函数的零点进行讨论即可

5.25

函数族定义式、极限考察、函数的心态作为媒介

一步步进行计算即可，计算量有一点

5.26

求拐点个数

暴力求导到二阶导进行分析即可，没有必要到三阶导

5.27 疑似凑数

求极值点和拐点

太简单，懒得说

5.28

求斜渐进线方程的选择题

直接算即可，非常简单，选择题更简单

5.29

复合函数求切线方程

复合函数求导即可

5.30

复合函数求凹凸性

复合函数求导即可

5.31

普通函数的拐点、切线结合考察

直接做即可，十分简单

5.32

带三角函数的简单函数极值点考察

直接做即可，十分简单

5.33

简单函数的拐点考察

直接算即可，不要算错了

5.34

函数族的单调性分析

直接做即可，感觉永远不会这样考

5.35 定义证明

定义证明，一定要会

请拉格朗日上身就会做了

5.36

带参数的普通函数最值问题，其实就是高中导数题

直接做即可，注意不要第一问第二问过于割裂

5.37

导数的单调区间、极值、凹凸性、拐点考察

一个一个算即可，十分简单

5.38 感觉答案错了

一步步老老实实算就行了，感觉答案计算的时候好像错了

5.39

一步步进行分析即可，注意不要算错

注意根据结果需要分类进行分析

5.40 疑似凑数

简单函数的单调区间、极值、极值点、凹凸性、渐进线考察

感觉没啥意思

5.41 疑似凑数

简单函数的单调区间、极值、极值点、凹凸性、渐进线考察

莫名其妙加大计算量，感觉没有必要这么练

5.42

求参数方程的切线方程

结合参数方程求导内容，一步步算即可

5.43

求参数方程的截距

结合参数方程求导内容，一步步算即可

5.44

变限积分隐函数条件求曲率半径

很好的题目，综合和求导、变限积分求导、隐函数求导，再结合了曲率半径，所有内容都考了

5.45

参数方程求曲率

直接求即可

5.46

隐函数求曲率

直接求即可

5.47 疑似凑数

参数方程求曲率

疑似凑数

5.48 疑似凑数

隐函数求曲率

疑似凑数，感觉后面的内容比较差

第六章

这一章的1000题的难度总体来说比闭关修炼里面的例题简单很多，如果想要变得更高，还是要去把闭关修炼里面的题做好。

6.1 计算错误

函数的观察能力、计算能力、求导能力、函数性态分析能力的考察

带参数去分析，最后分析的过程可能会比较复杂
如果计算能力足够强，可以分离参数去做，但是函数求导的时候不要搞错了，如果用此方法发现自己的结果不在选项中，那么不用怀疑题目，一定是你自己算错了，并且你算错的这种状况还不在出题人的考虑范围内（因为没有混淆选项），所以仔细看看，再算一遍即可。

6.2

一点的泰勒展开的考察

算是比较复杂的泰勒展开了，如果不会去吃屎吧

6.3

看似非常必然的定理或者现象的考察

类似这种题材的，可以先考虑变化，如果真的是非常必然的一些定理或者现象，不要犹豫，直接反证法！

6.4 二级定理证明

无穷大时无法直接使用罗尔定理的题目

答案的做法是，猜两个点，这两个点必会相等。
但是本人的做法是，因为在x=0和x->+∞时f(x)都趋于0的情况下，那么最值肯定不在这两个地方，又因为f(x)连续可导，所以可以判断一定有极值在(0,+∞)之间，那么这个极值点的导数必为0.

借此我们可以拓展一下，如果x->-∞和x->+∞时f(x)都趋于0的情况下，得到的结论也是一样的，就是还是会存在(-∞,+∞)的一点使得这点的导数值为零。这个后续题目里面有。

6.5

构造函数能力的考察

构造函数使用的是一阶商求导公司的逆用

答案的思路是构造出函数，其二次导可以使用题目所给条件，然后用泰勒展开得到结果。

本人的思路是，构造的函数，其一次导可以使用题目所给条件，根据条件与0的关系和f(x)为正值函数的性质，然后发现f(x)的导数在x小于0的时候小于0，x大于0的时候大于0，这些本身没什么，但是又因为f(x)-x在x=0取得极值，那没有办法了，只能是极大值，综合发现这个值只能是最大值，所以得到f(x)-x≤1，则有f(x)≤1+x≤e^x

感觉本体质量一般，容易钻空子

6.6

拉格朗日中值定理的考察、泰勒分析的考察、看似非常必然的定理或者现象的考察

个人认为第一问也可以用泰勒分析来做，但是用拉格朗日应该会更加严谨一点吧

第二问直接反证法，很典型的绝对值放缩到最后是一个无穷量乘以一个值的形式。

6.7

题目条件收集能力、中值定理考察

三次拉格朗日中值定理直接秒杀

6.8

构造函数能力的考察

构造出正确的函数，代入正确的值即可，这里使用的是一阶商的求导公式逆用

6.9 疑似凑数

同6.8

构造出正确的函数，代入正确的值即可，这里使用的是一阶商的求导公式逆用，疑似凑数

6.10 思路出错

唯一性证明、极限的考察

注意唯一性证明的过程是怎么样的，还有极限的考察，这使用了无穷小替换和泰勒

6.11

中值定理背景下的放缩考察

这里考察了拉格朗日中值定理和柯西中值定理用来放缩，注意第二问使用了变形，需要一定的观察能力。

但是我这里认为第二问出的又一点瑕疵。第二问不等式右边M的系数并不是恒大于1的，所以很容易就知道满足条件的值会存在

6.12

构造函数、罗尔定理的考察

这条题如果你觉得很难，请看闭关修炼P171～P179，就能知道这个题目的背景就是拟合，这样就非常轻松了

6.13

非常好的题目，典型的一眼黑题目，如果想不到很容易蒙错

这种题目切记不可乱猜，如果能找到特例是好的，但是如果没有找到特例，那么就要按照大题的思路去做。
这里使用的是对中点进行泰勒展开，列出两个点的泰勒等式并联立即可。题目的积分条件、选项里面的求1/2点的大小关系都有提示。

6.14

中值定理的考察、结合数列考察数列的极限，非常典型的综合题型。

个人感觉答案的第一问挺优雅的，但是本人是用类似答案法二的构造函数的方式做的，感觉构造一个函数很累，不如法一。

对于第二问，注意要证明数列值是单调有界的，这样其极限值才会存在。

6.15

高中求零点题目

不会做吃屎去吧，这种题一定要会，算错了可以原谅，不会做建议隔壁找个班上

6.16

高中函数分析根的题目

略微有点难，需要多分几种情况去做，这里本人是带参分析的，需要分析一阶导的零点情况

6.17 疑似凑数

高中函数分析根的题目，疑似凑数

没得说，疑似凑数，做的时候感觉正在被张宇喂好吃的

6.18

求导分析根，这个有点复杂，需要使用到极限工具，但是除此之外跟高中的没有什么区别

直接求导分析即可，略有一点复杂罢了。如果你做了这条题，请保留好这条题的草稿纸，并且留一些空间，后续你会感谢我的

6.19

委婉地让你求导分析根问题

要不是它问的委婉这一点，我就给它扣上疑似凑数的罪名了

6.20

会就秒杀题

e^x≥x+1秒杀

6.21

例6.18的后续

继承十八姥爷的遗志吧！

6.22

隐藏的必然事件的证明，中值定理的考察

这里第一问可以用反证法，会更加严谨一点。
但是感觉第二问有点怪怪的

6.23

有点坑，但是如果会构造的话就很简单

这里就是诱导你使用柯西中值定理，但是很可惜，这并不奏效。

但是如果你将一个参数变量化，并且求导就很容易求解

6.24

高中导数问题，只不过更加复杂一点

求导分析即可

6.25

高中导数问题，但是需要一些变形大观的支撑才会好做一点

学会根据情况分离(x-1)分析即可

6.26

非常简单的求导分析高中题目，只不过求导难一点罢了

懒得喷，疑似凑数！

6.27 疑似凑数

构造函数解题，用的是一阶商的求导公式的逆用

没得说，懒得喷

6.28 疑似凑数

高中求导分析根的问题

没得说，懒得喷

6.29 另类做法

无穷大时无法直接使用罗尔定理的题目，例6.4的扩展

第一问拒绝和出题人博弈，直接反证秒杀。但是答案使用的是极限定义去做，太高级了呜呜呜。

第二问就是6.4的扩展情况，可以回去看一下6.4的个人思路

6.30 做有所得

绝对值函数的考察、结合积分的放缩考察

第一问学会分开证明即可

第二问是真的想破脑袋都不知道可以使用积分证明。但是本人发现，在a（或者-a）用泰勒展开到二阶导，得到的结果再将-a（或者a）代入，就可以简单的得到a≥2，有点难绷，感觉这条题出的一般般，这都能给我蒙到。

但是我们还是要警惕这种积分放缩问题，这是我们比较薄弱的

第七章

这部分内容没什么好说的，大概率不会考，但是没办法，还是要浅浅练习一下。1000题的内容比闭关修炼简单很多

7.1

微分学的物理应用

直接用x代替y，求导即可

7.2

微分学的物理应用

列好式子，直接求导即可

第八章

这一章内容还是要判断反常积分的敛散性

8.1

具体的变限积分的导数存在性考察

这里考察了变限积分的存在性，一定要知道变限积分导数存在性和里面的函数的关系：可取间断点和跳跃间断点对变限积分的导数存在性的影响。本质上，就是变限积分在一点的左右导数，等于里面的函数的左右极限，从此我们可以发现，变限积分在一点的导数和里面函数在一点的值实际上是没有关系的！

8.2

抽象性变限积分性质的考察

变限积分的周期性，在被积函数是周期的前提下，其一个周期内的积分值必须为零，否则变限积分的值会不断积累，也就无法构成周期函数

8.3

极限定义性式子、考察原函数的存在性、变限积分导数的存在性

原函数存在性：有原函数的函数一定没有第一类间断点和无穷间断点，可能有振荡间断点

变限积分导数存在性：变限积分在一点的导数值，左导数等于被积函数的左极限，右导数等于被积函数的右极限。

注意，变限积分只要收敛，就是连续的。

8.4

具体不同函数、相同积分上下限的积分值大小判断

关键：找到题目中三个不同函数的相同之处和不同之处，根据相同之处，对三个函数同时进行一到两步的变换，然后再根据变换后的不同之处，判断大小。与之完全不同处理方式的是8.7

8.5

相似函数同积分上下限的大小比较

这里需要使用到sinx和x比值之间的不等式

8.6

具体函数不同区间积分值的大小比较

这种题目最好是可以把大致图像画出来即可，然后分区间讨论，再将其加起来即可

8.7

具体不同函数变限积分的大小笔记哦啊

这里处理的方式与8.4截然不同

这里的处理方式就是，需要两两进行暴力比较，列出等式并进行求导，然后讨论函数的状态。

但是这里发现一个快速的做法：观察三个具体函数，发现可以使用反常积分的敛散性来辅助判断大小，发现x在无穷大时，第一个函数是收敛的，而第二个、第三个函数是发散的，再观察发现第二个函数和第三个函数在x趋于无穷大的时候，函数整体趋于零的速度是有大小之分的：第三个函数比第二个函数慢。所以可以猜测第一个函数最小，其次到第二个函数，最后才到第三个函数。

8.8

具体不同函数、相同积分上下限的积分值大小判断

这条题的做法与8.4略有不同。具体如何去做还是要看具体题目的被积函数形式。

根据这条题的被积函数，很快就可以判断出第二个函数和第三个函数的大小关系，然后第一个函数与其他函数的形式差别比价大，我们可以转移到导数去分析即可，因为其导数的形式与第二个函数的导数十分类似。

总的来说，这种题目还是要灵活分析，不要过于局限于一种方法。这里张宇留了很多条这种比较选择题，应该也是想告诉我们这个道理吧

8.9

变限积分和被积函数的等式处理

将变限积分里面的被积函数的自变量改为与变限积分无关，然后利用微分方程的知识去解决问题即可，注意，这种微分方程得到结果后，一般是要计算出常数参数的大小的。

8.10

反常积分的敛散性判别

这条题不难，但是一定要知道：在x趋于无穷小时，lnx的无穷大越等于一个非常小幂次的1/x

8.11

反常积分的敛散性判别——两个不同幂次相加

若趋于无穷大，则需要看幂次比较大的系数a，若趋于无穷小，则需要看幂次比较小的系数b

8.12

复合反常积分的敛散性判断

一定要知道，反常积分的敛散性，实际上是去对其奇点和瑕点处进行无穷小（大）比阶。

所以这条题一定要将这里拆作两个积分，一个是0到1/2，一个是1/2到1

8.13

关于lnx绝对值的反常积分敛散性分析

这里注意要进行拆分，将0～2拆为0～1加1～2，然后再逐个进行分析

8.14

反常积分的敛散性判别

进行无穷小的比阶，然后阶梯即可

8.15

多个反常积分的敛散性判断

还是要抓住反常积分的敛散性判断的重点：找奇点、瑕点后判断是否需要分拆开，然后与熟悉的幂函数无穷小比阶

8.16

多个反常积分的敛散性判断

这条题实际上是将8.15里面的内容考的更加灵活了，不再是传统的x和lnx之间的敛散性，很有考研出题防背书大法的感觉。但是只要抓住本质，即可做题：找奇点、瑕点后判断是否需要分拆开，然后与熟悉的幂函数无穷小比阶

8.17 集大成者

前面所有敛散性判别的集大成者

根据题目，分析出其奇点和瑕点后，我们可以分成两个积分，一个是1～2，一个是2到正无穷。前者由于sin的原因，所以幂次约等于p-1的x幂函数（有移位），后者约等于p次的x函数，这样就可以得出结果了。

8.18

黎曼思想的考察

主要是会用黎曼思想，将连加或者连乘的问题转化为积分。注意，这里是变限积分。

8.19

黎曼思想的考察、放缩能力的考察

通过黎曼思想将其转换，然后进行放缩，再通过夹逼准则得到结果

第九章

注意，这一章有很多题在闭关修炼中可以作为练习。

9.1

基础的换元法进行积分

这里很有很多方法不过多赘述，这条题很简单

9.2 细节错误

有理函数的积分

这里需要记住，关于1/u的积分，如果u不是恒大于0的，必须得到 lnu 要加上绝对值。

9.3

典型的积分再现问题

通过一些变化使得积分再现即可

9.4 粗心错误

函数定义式的变形考察

啊啊啊啊

9.5 坑

看似数列的考察，实际上是黎曼思想的考察

这里没有看出是黎曼思想，自罚三套题

9.6

函数之间的关系计算

像这种上下限为0～2的题目，可以尝试看看能否通过换元法转换为-1～1

9.7 特殊意义

考察观察能力和变限积分的熟练程度

这里对变限积分的数量要求很高，只要能够观察出来，实际上很容易得到原函数

但是水上，如果按部就班做，也可以得出结果，可能不够优雅

9.8

绝对值导致的积分拆为变限积分进行分析

拆拆拆，但是好像过程有一步算错了，但是结果好像还是对的，好奇怪😯

9.9

周期、复合函数的积分考察

很简单，没得说

9.10 粗心错误

对奇怪函数的处理能力的考察

这里需要想到交换积分顺序就可以解决问题了。

得到的启发是：像这种问题，如果给出变限积分的积分，而且被积函数非常丑陋且无从下手，可以考虑一手压箱底的绝招——交换积分次序

9.11

含有根号的积分考察

这里只要做题够多，就可以很简单得到结果

9.12 较为复杂

此题较为复杂，但是有很多种解题方式，建议多去尝试

这条题做的时候一定要头脑清晰，不然很容易错，这条题很多人细节容易出错

9.13 粗心错误

有理函数积分的考察

参数分离，认真处理

9.14 粗心错误

看似复杂的积分

此题直接两边积分即可，别犯晕别犯晕

9.15 粗心错误

换元积分的考察

注意，特别是分母的式子进行换元的时候，它的变化和分子的式子进行换元不一样

9.16 粗心错误

三角函数的积分

这里有点小坑，不要背错倍角公式！

9.17

能否发现反常积分的考察

发现反常积分，将积分拆开做即可

9.18

递推积分式子的考察

找到an和an-1的关系即可

9.19 思路错误

复杂函数的积分、一点的导数的考察

直接分部积分法，然后进行运算。

这里使用了换元法，暂时没找到正确结果

9.20

含绝对值的积分考察、函数性态的考察

直接拆、然后判断单调性即可

9.21

含绝对值的积分考察、函数性态的考察，与上题一样

直接拆、然后判断单调性即可

9.22 粗心错误

分段函数的积分

脑子清晰一点，好好进行分段，求你了

9.23 又粗心

反函数二阶导的考察、变限积分换元的考察

换元、求导即可

9.24

绝对值积分计算、泰勒公式的考察

计算结果、泰勒等价无穷小即可

9.25

积分存在性考察、极限考察

要知道，如果被积函数趋于无穷大，是不会存在积分的

9.26

带绝对值的积分、伽马函数的考察

这里第二问使用了伽马函数

9.27 值得一做

反常积分的考察

首先观察是否存在奇点，然后一步步分解，可以先得到原函数，再求极限。

9.28

复杂积分的考察

临危不乱，

第十章

注意，这一章有很多题在闭关修炼中可以作为练习，这是必要的训练，不可含糊

第十一章

本章节的题目相对于闭关修炼里面的题目来说，还是相对简单一点

11.1

积分范围求取，考察是否能够根据条件发现对应的做题方法

这里一定要有意识：如果给出二阶导与0的关系，很大概率会考到泰勒公式的放缩

11.2

分布积分法的考察、换元思想的考察

这里直接用分布积分法就可以，然后换元就可以得到结果了

值得一说的是，在其他题目如果看到类似左边式子这种形式，可以尝试用用交换积分次序的方法

11.3

抽象积分问题的考察

这条题初一看感觉很难，但是如果你的方向是正确的，那就很快。

很多时候，对于所有的函数类题目，我们其实都应该在脑海里面尝试构建一下它的形状，如果能够构建出来，那就是血赚，如果构建不出来其实也不亏。

该题就是需要构建出一个图形出来，根据说给条件得到极限情况，就是导数的绝对值如果恒为1的时候，那图像是怎么样的？可以尝试画出这个图像，实际上这个图像有两种可能，对应的面积（即积分）就是3/4和5/4，所以取值应该在3/4到5/4之间。但是为什么不取等号呢？因为函数是可导函数，如果对应面积的绝对值恒为1的话该函数就不是可导函数了，因为会在x=1/2这个地方发生导数突变。

11.4

变限积分的定积分问题

对于这种问题，答案的做法是分部积分

但是实际上，如果尝试使用交换积分次序的方法去做，会很迅速。

11.5

考察限定条件的使用能力，积分不等式问题

首先不要只会跟着答案走，而是要想怎么来的

对于这种积分不等式，我们每次做的时候都应该考虑一下，能否转换为一个新的函数与0的关系

显然在这条题目里面是可以的，因为题目说给的条件非常契合我们的做法。如果不能发现的话，说明对条件的使用能力和敏感程度都不高

我们将需要证明的式子转换为一个函数与0的关系，再看看说给的条件，然后发现其实使用交换积分次序，就已经得到结果了，根本不需要求导。那什么时候需要求导呢，11.6就需要求导解决问题

11.6

考察限定条件的使用能力，积分不等式问题

这条题，也是积分不等式问题，也应该优先考虑能否变成一个新函数与0的关系来去做。不要害怕去尝试，而是多去尝试，有时候就能做出来了。

我们发现，转换为一个新函数后，很难直接得到结果，但是我们对其求导之后，再对求导后的部分进行求导，发现结果就非常了然了——因为所有题目给的条件都是往这边靠的

实际上，在做这条题目的时候，我看到题目说给的“f(x)导数是在0～1之间”这个条件的时候，我是想往放缩那边走的，但是很麻烦而且得到的结果没有办法证明题目的内容，所以还是消耗了不少时间的。

这个题目告诉我们，对于不等式问题，优先考虑变形为一个新函数与0的关系，如果这样不行，再考虑放缩。

11.7

变形能力的考察、放缩能力的考察

还是要对题目给的条件很敏感，可以看到，题目给的条件只有f(x)的导函数与m有关，然后待证不等式右边中也有m，那么很明显，我们需要使用到f(x)的导函数，但是待证不等式左边是没有f(x)的导函数，那怎么办？变形呗，构造出f(x)的导函数！

你会发现，在变形后，题目就很简单了，化简为一个简单的积分式子后，再进行一个简单的放缩就可以得到这个结果了

11.8

考察限定条件的使用能力，积分不等式问题

实际上，这条题个人认为第一问比第二问困难。

因为本人在做第一问的时候，根本没有看第二问，所以没有想到构造函数，而是使用拉格朗日自己在那里放缩半天，但是得到的结果总是差一点。

最后，本人是使用反证法完成第一问的，然后再做第二问，发现第二问的条件实际上就是积分不等式转换为一个新函数与0的关系，然后再使用函数的性质，很容易就完成第二问了。

做完这条题目，最大的收获应该是，当我们在放缩的时候，如果放缩一两次得到的结果是不对的，我们应该换条路走了。因为大概率是不会要求多次放缩的。

第十二章

这章内容不多，但是思考起来有点复杂，最好还是结合书本去看去做

12.1

静水压力的变化

列出两个式子，因为是选择题，为了方便可以列特殊三角形

12.2

静水压力的变化

计算即可，有点复杂

12.3

面积的变化

用积分计算即可

第十三章

注意，这一章有很多题在闭关修炼中可以作为练习，这是必要的训练，不可含糊

13.1

多元函数的偏导存在性判断

使用极限工具进行计算即可，这里是因为绝对值的原因导致函数对x的偏导不存在

13.2

分段的多元函数的偏导和连续性判断

按照流程一步一步做即可，这个是很经典的分段多元函数考察形式

13.3 概念性

绝对值多元函数的偏导、连续性、可导性考察

通过直接计算可以很快得到前面三个的结果，但是对于第四个，我们需要先判断是否可微，并且知道多元函数对x和对y的偏导大小，才能判断4是否正确。不能因为只知道多元函数对x和对y的偏导大小就直接判断4是正确的

实际上，我们可以很轻易地根据x和y与0的关系，写出四个表达式，我们如果能够在脑海或者草稿中大致构架出对应的图像，实际上对我们做题很有帮助——不需要像答案一样计算很多。

13.4

抽象函数的连续性、可微性的考察，对极限定义的理解的考察

我们需要根据题目说给的极限定义，然后利用无穷小来完成第一问

对于第二问，我们需要对可微有一定的理解，才能完成

13.5

具体分段多元函数的连续性、偏导存在性、可微性的考察

以应用题的形式强制要求考生进行分析，这里不可含糊，一定要做对

13.6 概念题

经典分段函数的考察

这种概念题一定要会，不可含糊

13.7 粗心出错

函数可微的理解的考察

从题目说给的极限式子中，我们知道在该点的函数值、x偏导值、y偏导值

注意，不要把符号搞错！

13.8

链式求导法则的考察

对f进行x和y的偏导，得到两个式子，解二元方程即可

13.9

换元能力的考察

观察进行换元就可以得到函数，就可以处理了

13.10 有坑

带积分的二次偏导考察

注意，像本题一样，如果积分符号和积分上限（下限）里面都出现了x，那么我们第一次求导的时候就不能对x求偏导，而是需要先对y求偏导，再对x求偏导

闭关修炼中也有一条类似的题目，感觉这个挺坑的，不知道为什么张宇不讲

13.11

具体多元函数以隐函数的形式考察二次偏导

可以直接对两边求偏导，也可以使用全微分，更可以使用隐函数求导的公式解答

这种是最简单的形式，后续还有更难的

13.12

带指数函数、三角函数的隐函数求导的考察

这里考察全微分，那么我们只需要一次偏导，所以这里使用隐函数求导公式是一个不错的选择

13.13

全微分概念的考察

需要简单理解全微分的性质，就可以完成此题，还是比较简单的

13.14

带三角函数、变限函数的隐函数求导的考察

和例13.12一样，考察全微分，那么我们只需要一次偏导，所以这里使用隐函数求导公式是一个不错的选择

13.15

带对数函数、变限函数的隐函数求导的考察

注意了，这里问的是二阶偏导，并不是和13.14一样的一阶偏导

这种题目的做法依旧有很多种，可以像答案一样，先使用隐函数求导公式，先将一阶导求出来，再求二阶导

但是我的方法是两边先对x和y求偏导，并计算其值，然后再对两边求一次偏导，得到二阶偏导和一阶偏导的混合式子，代入值即可得到结果

13.16

带对数和抽象函数的抽象复合多元函数的偏导计算考察

这种题目，直接计算偏导，然后代入式子中，很容易就能得到结果了

如果算错了，一定是你的问题，再检查一遍

13.17

带分式的抽象复合多元函数的偏导计算考察

同13.16

13.18 疑似凑数

隐函数二阶导的考察

懒得喷，前面已经讲了

13.19

带指数函数、变限积分的隐函数求导的考察

个人的方法是两边先对x和y求偏导，并计算其值，然后再对两边求一次偏导，得到二阶偏导和一阶偏导的混合式子，代入值即可得到结果

也可以用其他方法，只要结果没有问题就行

13.20

单纯抽象复合函数的偏导考察、偏导求导能力的考察

没什么好说的，求导计算题

注意一下，f先对1再对2求偏导等于f先对2再对1求偏导，因为f有二阶连续偏导数

13.21

多元函数的极值考察

这里考的就稍微多了一点，我们需要求出一阶导和二阶导，相比前面那种直接求导的题目要求就更高了一点

13.22 概念题粗心

二阶导与极值的关系

注意，题目这里给的是二阶导连续，那么我们要考虑就很多了，除了小于0的部分，我们也要考虑等于0的部分，很显然，如果二阶导连续的话，等于0也可以可能存在极值的

13.23

具体复合多元函数、带参数的极值讨论问题

这里需要认真并且小心的计算一阶偏导和二阶偏导，计算量还是比较大的

13.24 疑似凑数

简单二元函数的驻点和极值点判断

很简单，感觉被看不起了，疑似凑数

13.25

具体复杂函数的无条件极值计算问题

这里计算还是比较难得，特别是二阶偏导部分

注意，如果这里是小题，我们在通过一阶偏导的计算得到驻点后，我们实际上可以根据f的形式直接代入值计算了，并不需要再傻乎乎地计算二阶偏导

13.26

具体多元函数的隐函数求无条件极值问题

隐函数求导或者两边直接求偏导

本人的做法是直接两边求偏导。看到答案里面使用隐函数求偏导后，还需要对一个比较复杂的分式求导，这个还是有点痛苦的说实话

13.27

具体多元函数的带参数的隐函数条件下求无条件极值问题

参数判断，直接求一阶和二阶导即可

13.28

约束条件下的最值求解

这里要灵活一点，求z的绝对值的最值，实际上就是求z的平方的最值。然后使用拉格朗日乘法求解即可。

我实在不理解为什么张宇在后面要出这么多拉格朗日乘法的题目，大抵是因为很重要吧，应该不会是凑题

13.29

约束条件下的最值求解

实际上这条题就是13.28，只不过问的委婉了一点，实际上也是求z的绝对值的最值，直接使用拉格朗日乘法求解即可

13.30 思维扩展

约束条件下的最值求解

这条题使用拉格朗日计算还是比较困难的，但是比较奇怪的是，本人算出的最小值是根号五分之一，有点难绷

这条题的背景应该是在三维坐标系中，两个面的交集与原点的距离，这个就提示我们：如果遇到这种三维空间求距离最值的题目，不妨考虑一下使用拉格朗日乘法，毕竟要活学活用嘛

13.31

函数性质考察、条件最值考察

本题就问的稍微委婉了，我们要想，如果这条题不出现在十三章，我们会想到这么做吗？

这条题在拉格朗日计算中也有技巧，我们实际上可以根据条件消去x平方和y平方，最终只要计算2-3xy的最大值即可。只需要注意最后换算之后2-3xy是位于分母的，而且头顶上还有一个2*2，并且旁边还有一个1/2

13.32

偏导的积分考察、无条件极值的计算考察

这种题目相对就考的多一点，首先需要通过积分工具推出u，然后再用无条件极值计算方法来计算极值

后面还有更多这种题目

13.33

偏导的积分考察、无条件极值的计算考察

同13.32

13.34 粗心算错

偏导的积分考察、约束条件下最值的计算考察

首先需要通过积分工具推出u，然后再用条件最值的计算方法来计算极值

13.35 计算量大

带参数的条件最值问题

这种参数问题实际上是最烦的，计算的时候很麻烦，很坑爹，狗看了都摇头

13.36

简单多元函数的范围内的最值考察

这里需要使用到无条件极值和条件最值的方法来计算最值，最简单的综合性题目

13.37

全微分的性质考察、极值的判断

这里结合了两部分的内容

13.38

具体函数的极值判断

很简单的题目，千万不要算错

13.39

较为复杂的极值判断

计算有点复杂，但是可以直接代入选项判断

13.40

无条件极值的应用、多元函数求偏导能力的考察

求偏导，比较大小即可

13.41

定积分的多元函数最值考察

通过换元法就可以进行计算，将计算得到的结果，也可以老老实实计算，但是本人绝对代入选项计算会更快

13.42 疑似凑数

非常简单的无条件极值的计算

很简单，没话说

13.43 计算量大

多元函数的区域最值问题的计算

这条题计算有点复杂，里面的坑比较多，不好化简，很容易踩坑

感觉这种题目就是典型的将考生算力作为筛选度的题目

13.44

具体抽象函数的区域最值考察

使用无条件极值和条件最值的方法做

值得一说的是，本人在条件最值的情况下面没有使用拉格朗日乘法，因为我发现结合条件之后，二元函数就变成了一元二次函数，它的最值实际上还是很好求的。

这就告诉我们，并不一定要只想到使用拉格朗日乘法，做人还是要灵活一点

13.45

抽象函数的极值考察

注意，这里考的是充分条件

直接计算即可，这里问的是抽象函数

13.46

带参数多元函数的极值考察

带参数进行求导讨论即可

13.47 疑似凑数

多元函数的无条件极值考察

不懂为什么张宇这里要再出一个题目，难到是想打别人一个措手不及吗

13.48 内容丰富

偏导数的积分求取、积分的几何应用

这里需要细心一点进行计算，特别是积分的计算，这里实际上即考察了积分的几何应用，即旋转体的体积，也考察了反常积分的求导，也就是伽马函数，还考察了指数函数和三角函数的积分值，实际上考的东西还挺多的

13.49 疑似凑数

二阶偏导推原函数的考察

不懂为什么还要出这么多二阶偏导推原函数，前面不是已经出了很多了吗

13.50 疑似凑数

二阶偏导推原函数的考察

没什么特点，想举报

13.51

全微分性质的理解，求导能力的考察

这条题可以老老实实求导，但是实际上可以直接使用对称性秒杀。

但是在考场中，为了求稳，还是要计算一番来让自己心安

13.52

全微分性质的理解，求导能力的考察

与13.51一样，但是计算难度复杂很多

13.53

偏导之间的关系化简，条件中含有偏导书的等式

可以对f(u, v)进行x和y的偏导来计算

但是，实际上也可以对f(x,y)进行u和v的偏导计算，本人就是使用这种方法，感觉还是不错的

13.54

函数为变限积分，偏导之间关系化简，条件中含有偏导书的等式

还是一样，直接对z进行偏导计算，然后将得到的结果代入说给方程就可以解决

13.55 有意思

证明题

这里需要想到使用反证法进行计算

13.56

积分的几何性质的考察，条件最值的考察

这里需要正确技术上出定积分的值，然后这是限制条件

然后得到计算式子，再通过拉格朗日乘法计算，注意这里使用拉格朗日计算也是有技巧的，我们不需要直接计算b-a的三次方的最值，实际上我们只需要计算b-a的最值即可。随后，我们通过拉格朗日计算的过程中就会发现好像只有一个最值，不要慌，要灵活使用特殊点（如端点）的值，代入就上就能得到正确的结果

13.57 新颖

含有偏导数等式的微分方程求解题目

这里需要化简，然后得到一个微分方程，然后计算这个微分方程即可，注意，这里需要求解微分方程之后再进行一次积分，所以有两个未知常数

13.58

含有偏导数等式的微分方程求解题目

思路同13.57

第十四章

这一章主要是灵活使用公式和计算，如果计算这里有门槛的话，可以回去多做一些积分题目来进行训练

15.1

非齐次方程解的结构分析

非常经典的解的结构分析题目，以下是个人总结的操作流程

首先看题目问的微分方程是阶数，并且检查题目所问的是为齐次方程，还是非齐次方程
观察题目说给的解的结构，如果给的是两个特解的话，要会寻找出通解
根据通解构建齐次的微分方程方程
如果为非齐次方程，要会通过特解来将齐次方程完善为非齐次方程

15.2 计算能力

一条需要证明很久的证明题，因为如果你的证明方法不对，你需要证明很久

这条题在闭关修炼中也出现过，具体还是根据周期性来构造c使得结果是周期的，但是对于积分的变限来说还是需要一定的技巧，或者说，阅历

15.3 有意思

结合多元微分考察微分方程

答案里面是对y求导，然后代入对应的结果

但是请观察题目说给的偏导数条件，可以发现，如果u=v=x的话，这个公式不就是f(x, x)对x的求偏导吗？事实上就是这样的，然后你很快就可以将f(x, x)求出来。

但是需要注意的是，不要讲这个偏导数条件看成：f对x求偏导 + f对x求偏导 = x·x了。不然得到的结果就会与正确的结果差一个二分之一

15.4 综合计算

函数性态的考察、极限计算、分类讨论能力、有关变限积分的变换、对一阶线性微分方程中公式的深刻理解

这条题也是闭关修炼的原题，例15.3。

我们首先知道水平渐进线这个条件的含义，然后根据题目通过一阶线性微分方程的求解公式解得y的表达式，然后要深刻理解这个含义，也就是不能单纯转换为不定积分，而是变限积分，因为它实际上就是不带常数项的原函数。

在知道他是变限积分后，因为指数函数的特性，所以需要对a进行分类讨论，不同的分类讨论得到的结果不一样，最终得到的极限结果不一样

如果需要算出使得a>0的时候满足条件的C的话，还是要费一般功夫，因为要构造的c，是里面被积函数的反常积分，需要一定的知识积累

15.5

二阶齐次对解的结构的理解

题目所说有周期性，一定要联想到cos和sin，并且不是所有的cos和sin都有解的，必须是实数部分为零的才可以

15.6

齐次型微分方程求通解

观察形式，发现正常方法无法解，只能使用换元法，可以发现，只需要u=y/x即可换元成功，剩下的就是计算的问题了

15.7

齐次方程解的结构分析

知道是齐次方程后，根据解的结构，可以知道有两个二重根

15.8

微分知识构造微分方程

需要自己构造出导数并进行计算，注意，1/y的积分里面有绝对值

15.9 思路不优

较为复杂的微分方程

这条题还是有点难的，首先，很难想到可以换过来形成一个一阶线性的微分方程，因为确实1/（y+1）比较少见。如果你也像我一样看不出来，那就是微分方程这部分的内容不够扎实。

实际上，本人的做法是使用了闭关修炼中的一阶微分方程求解中齐次型第三种情况的c方法，虽然也能得到正确的结果，但是过程非常坎坷，计算的内容颇多且杂，很容易粗心错误，所以这里个人还是比较青睐于答案这种普通的方法。

这个实际上也告诉了我们，那些所谓的二级结论都需要记，只不过是你实在是想不出正常的解题路径之后，一种暴力解决问题的方法而已。

15.10 疑似凑题

一阶微分方程齐次型

见到分式，首先观察其是否为齐次型，如果为齐次型，当然可以使用x/y或者y/x了

这条题很简单，不多说，感觉还是15.9比较深入人心一点

15.11 思路不优

变限积分结合微分方程

实际上，本人在做此题的时候是对两边进行两次求导，最终使用二阶可降阶的微分方程求解方法才完成了这条题

但是实际上，我们在进行第一次求导之后，看到积分里面的东西就应该眼前一亮了，或者说，当我们看到题目说给等式中积分里面的内容时，我们就应该眼前一亮了。这种要求比较高，但是个人认为这个要求还是比较契合当前的考研所要求的。

15.12

变限积分结合一阶线性微分方程

非常简单的一条题，只要你变限积分足够好，微分方程这部分的计算也没有问题，这种题目应该是手到擒来的。

如果这种题目没有正确的话，那就要反思哪里没有做好

15.13

变限积分结合二阶非齐次微分方程、顺便考察函数性质

比较综合的题目

15.14 有坑

结合函数性质考察微分方程

注意，这里的积分曲线，就是微分方程解y=f(x)的曲线

而曲线积分，才是y=f(x)的积分

15.15 思路错误

二阶齐次微分方程、条件的利用能力考察、反常积分的敛散性考察、极限的考察

这里在通过分类得到结果后，如果我们把目光放到f(x)无果时，我们就应该把目光转移到其他地方了

或者说，我们一开始看题目时，我们就应该进行一些必要的联想：题目条件和题目所问的关系？是否能够从这种关系推出其可能的考察内容？本人认为这个还是有点必要的

15.16

一阶齐次型微分方程，带对数

也是认真做即可，没有什么特别好说的

15.17

一阶齐次型微分方程，结合函数性态来考察

这条题的思路，认认真真做即可得到正确的结果

但是值得一提的是，因为我们得到的lny它是单调函数，所以实际上求y的最值，就是求lny的最值。

我们没有必要像答案一样把y的关系式求出来，然后求导找极值点。我们可以直接找lny的极值，而且题目中已经给出了lny的求导结果，这对我们解题的速度还是有很大的帮助的。

15.18

一阶齐次型微分方程带带参数分析

解得正确结果后，我们实际上也可以直接对lny进行周期分析，因为如果y是周期的，那lny也是周期的

15.19 疑似凑数

一阶齐次型带参数分析

这个更没得说了，前面两条题都是这个，而且这条题的答案也是让人两人一黑的不优雅

15.20

一阶线性微分方程、积分计算能力的考察、积分几何能力的考察

这里对计算能力提出一点要求，对于e^x和三角函数的积分二级结论我们还是要背下来的，这个很有用。除此之外，对于旋转体的体积计算，我们稍加平移一下，然后使用华里士公式即可

15.21

抽象函数结合二阶常系数微分方程、条件发现能力的考察、条件使用能力的考察、变形能力的考察

首先，个人认为还是需要先对题目所问进行一些变形再对条件进行其他研究好一点，因为你不知道题目所问的究竟为何，而是把所有东西求出来，这就会造成没有目标而导致多花了一些没必要消耗的时间

我们通过变形很容易得知需要计算的是f(x)在x=1时候的值，所以我们的目标就变成了求f(x)

然后通过条件变化，我们消掉g(x)，很容易得到关于f(x)的二阶常系数微分方程，就可以解题了

15.22

变限积分结合二阶常系数微分方程

这里对变限积分的变形提出了一些小小的要求

15.23 有坑

二阶常系数微分方程的特解组成结构的考察

注意，我们的认知中是没有二阶常系数微分方程的，只要注意这一点即可，其他没有难度

15.24

二阶常系数非齐次线性微分方程的考察，右边没有特征根

非常简单，按照正常流程去做即可

15.25 粗心错误

二阶常系数微分方程，右边有一个二重根

这个特解计算还是比较麻烦的，不要为了装杯口算，很容易出错

15.26 粗心错误

二阶常系数非齐次线性微分方程求解，右边有一个一重根

没啥好说的，就是注意在算出系数之后，不要忘记还有一个x要乘上去

15.27

二阶常系数非齐次线性微分方程，右边有一个特殊的一重根

注意x=0，这个也有可能是一个根，其他就没什么好说的

15.28 思路不优

二阶常系数线性微分方程的解的分析

这里还是推荐使用答案的做法，直接设方程直接代入计算

本人的方法略显复杂：首先需要考虑这个方程是齐次还是非齐次，因为有y=1的缘故，所以为齐次；然后考虑其解的结构，然后构建出对应的特征根方程，然后再构建出微分方程

15.29

二阶常系数齐次线性微分方程的解的分析

这种解的分析，还是要先知道其是齐次还是非齐次才好

具体步骤可以看15.1的个人思路部分

15.30

高阶常系数齐次线性微分方程的解的分析

重要的还是要学会对解的分析，然后构建特征根方程

15.31

高阶常系数齐次线性微分方程的解的结构的考察、无穷小的考察

分析出解，然后利用泰勒公式构建式子即可，很简单的无穷小题目

15.32 疑似凑数

二阶常系数齐次线性微分方程结合函数性质的考察

非常简单，没得说，疑似凑数

15.33 粗心错误

反函数求导的考察，二阶常系数非齐次线性微分方程

这条题也很简单，按照题目要求即可完成

但是注意，不要做着做着，把y又变成x了

15.34 不常规

根据题目提示进行换元，较为奇特的二阶常系数非齐次线性微分方程

根据要求换元后计算即可

但是有点奇怪的是，它只给出了一个值，这样只能确定一个常数。

怎么说呢，感觉有点不常规。。。或者说，猎奇

15.35

高阶齐次线性微分方程的解的分析，包含复数根

直接分析即可，很简单

15.36

高阶齐次线性微分方程的解的分析，包含二重根

直接分析即可，很简单

15.37 粗心错误

一阶常系数线性微分方程的考察，反函数的考察、变限积分的考察

这些还是有很多点需要注意的：

一阶常系数线性微分方程中，1/x和-1/x的作为e^f(x)的积分结果是什么东西
反函数g[f(x)]=x而不是等于1
变限积分求导后，得到的结果还要乘以积分上限的导数

15.38

一阶常系数线性微分方程结合函数性态的考察

懒得喷，这个积分曲线是微分方程解y=f(x)的曲线

而曲线积分，才是y=f(x)的积分

15.39

一阶常系数线性微分方程结合函数性态的考察

没得说

15.40 粗心错误

带n的一阶常系数微分方程

不要害怕，直接做就行，这就是只纸老虎

但是注意积分之后，要补上1/n

15.41 有点意思的同时疑似凑题

一阶可分离变量的微分方程

这里需要进行一下换元，但是题目中没有给出提示，我们要从说给的微分式子中寻找

看到e^(-y)这个东西，应该尝试换元或者转换为一阶常系数线性微分方程去做

15.42

一阶可分离变量的微分方程

简直和15.41是双胞胎，凑题意图很明显

但是感觉两者，只保留这条题就行了

15.43

二阶常系数线性微分方程、全微分的原函数求解

没什么好说的，注意全微分方程的话，个人还是比较推荐折线法

15.44

欧拉方程的考察

很明显的要求你算欧拉方程了

15.45 有意思

二阶可降阶微分方程的求解

其第二问的答案还是比较有意思的

15.46 思路错误

二阶可降阶微分方程

在做本题的时候还是不够纯粹地想到降阶

居然一直盯着y(y-a)(2y-a)变形为u(u-a/2)(u+2/a)，so sad

15.47 疑似凑数

二阶常系数非齐次线性微分方程

纯凑数题

15.48 粗心错误

二阶可降阶线性微分方程

也不知道咋了，1/x和-1/x的作为e^f(x)的积分结果是什么东西我都搞错了

15.49 粗心错误

积分能力的考察、积分的几何应用的考察、微分方程应用题

这里一定要注意，开放后或者1/x的积分后都需要加绝对值

不然即使答案正确，也会被扣分

15.50 有意思

微分应用题、二阶常系数齐次线性微分方程、函数性质、综合分析能力考察

一定要认真分析，还是比较容易出错的，这种啥都考一点的题目，个人认为考研还是比较喜欢考的

15.51 伽马函数

二阶常系数齐次线性微分方程、反常积分

伽马函数一定要熟练于心

15.52 追赶问题

微分方程应用题

本题是闭关修炼原题，例15.28

这条题分析还是比较难的，而且还考察了反向双曲正弦函数的反函数求法，还有对极限的分析

15.53

微分方程，二阶可降阶微分方程，导数的极限定义式

它把解出常数项的条件藏在一个导数的极限定义式中了

15.54

微分方程应用题

个人感觉这里答案的做法略显复杂，答案在求出微分方程的解这一步使用了分离变量

但是本人是直接使用一阶常系数线性微分方程的计算公式，感觉会快一点

15.55 粗心错误

微分方应用题、曲率的考察、计算能力的考察

闭关修炼原题：例15.23

这个计算有点难。。。

15.56

微分方程应用题，函数画图能力的考察

要会画图，不然很容易出错

15.57 粗心错误

微分方程应用题，函数能力考察

很简单，没得说，算错也是粗心算错

第十六章

这一章内容一般是看起来比较难，但是只要掌握了本质，然后思考的时候全面性地考虑，总会有一个正确可用的方法来解决问题的

16.1

指数函数的收敛分析

实际上个人认为答案说给的分析方法比较复杂，可以尝试看看本人的方法

我们可以将其转换为对数，很容易就会出现1/（n^lna）这个东西，然后分析其敛散性即可

感觉这里答案使用的方法是依据选项进行分析，但是作为练习题，我们应该对每一个选择题填空题都保留做大题的态度

16.2 闭关原题

复杂数列的判敛、放缩能力的考察

对于这种要求两个相邻项关系的题目，我们应该考虑单个放缩还是两个一起放缩。通过实践证明，在大多数情况下，两个放缩出现的次数还是比较多的。

做这种放缩题目的时候，一般我们只需要浅浅尝试一些放缩即可得到想要的结果。这就告诉我们，如果放缩了很多次都得不到想要的结果，那就是弄错了方向，可以尝试转换个路径去做

第二问就是使用了极限存在的定理，没什么好说，善于发现即可

实际上这条题本人还是做了比较久的，因为本人一直想着单个放缩，许久无果后才尝试两个一个放缩从而得到递推式

16.3 判断错误，闭关原题

级数判敛四选一问题

这里判断错误的是A、D选项

A这里应该是思路错误了，不等式放缩的时候搞混了，当初是真的傻

D这里就是大意了，当初一看到式子想的是使用闭关修炼中处理（-1）^n的第一种方法，即不等放缩，全然不知道这个方法只适用于正项级数，而对于交错级数是不适用的。对于交错级数，应该用到恒等变形。事实却是如此，今日翻书的时候发现这个是原题

16.4

级数判敛的考察、条件收敛和绝对收敛

这里一定要进行放缩，需要很敏感地对ln里面的进行放缩，就很容易得到正确的结果了

16.5 判断错误

绝对收敛和条件收敛的思考

对于选择题，我们可以代入一些特殊的、常见的结果帮助判断，例如1/n、1/n的交错级数形式

对于A、B、D选项，这里答案的放缩还是很精彩的，如果学会就可以说是魔功小成了

16.6 定理细节考察

很经典的绝对收敛和条件收敛的相互关系考察题目

我们在这里彻底搞清楚绝对收敛和条件收敛的区别

绝对收敛：

一个数列的绝对值数列收敛
此数列即使不加绝对值也收敛
此数列所有的正项数列和负项数列都收敛，最终都趋于0

条件收敛

一个数列的绝对值数列不收敛
此数列不加绝对值才收敛
此数列的所有正项数列和负项数列都不收敛，但是最终会趋于0，可能在数据上类似1/n
条件收敛的原因是，数列中的正项和负项逐渐减小但是相互制约，所以在不加绝对值的情况下可以收敛
但是如果加上绝对值，数列中的正项部分和负向部分不再存在相互制约，所以就会发散
但是注意，条件收敛最终也是趋于0的，即使加了绝对值也是如此，这个在很多场景里会应用到

这里值得一题的是，对于B选项，它是条件收敛的，但是由于其绝对值大于A选项，又因为A发散，所以B选项只是条件收敛而不是绝对收敛

对于的选项，无论是基础还是闭关修炼中都有对应的证明，可见其重要性

16.7 不同思路

复杂形式的级数判敛

这里答案的判断方法，个人感觉很勉强，不妨看看本人的思路

这里我们先观察题目，看到题目给了一个不三不四的式子，然后让我们判断一个条件收敛

看到条件收敛，我们应该下意识想到我们的老朋友，那就是1/n

或者说，我们最好可以将a_n往1/n上去凑

不试不知道，一试吓一跳

在我们得到a_n的表达式后，我们将其与1/n用比较判别法的极限形式，居然发现得到的结果是一个常数

那就说明a_n与1/n具有相同的敛散性

16.8 理解错误

经典的抽象判敛问题

实际上这个如果使用1/n即可得解

这个好像也是论证1/n的经典问题

实际上，这个问题就是问你，一个级数收敛和n趋于无穷时a_n=0的关系

16.9 理解错误

比较判别法的考察

实际上这条题目考察的是，比较判别法的有效范围，或者说适用的级数范围

我们都知道，比较判别法是正项级数专属的，但是在做这条题的时候是否能够想到呢

带着这段话去思考，很容易就得到正确结果

16.10 引发思考

微分方程结合级数，放缩能力的考察

这里主要困难的地方是在第二问

像这种积分里面的放缩问题，我们一般考虑积分中值定理，或者将积分往x的幂函数靠近

为什么要往x的幂函数靠近呢，因为x的幂函数无论是对于积分还是微分，都是十分简便的，无论是对于人，还是对于机器来说

所以说在很多情况，我们更希望可以对一个x的幂函数处理，而不是复杂的复合函数。这就是泰勒公式诞生的目的

16.11

放缩能力的考察

实际上，在16.10的背景下，我们很容易拿下这条题

16.12

幂级数收敛域的范围变化

很经典的幂级数收敛域随着平移变化、但是大小不变的考察

根据条件我们知道它的收敛域至少为（-1，1]，则在左移2个单位后那就变成(-3, -1]

16.13

幂级数收敛域的范围变化

这个相比于上体，考的就明显一点

16.14 定理细节考察

收敛半径的分析，两个级数相加

这里我们强调一遍定理：如果两个级数相加，说得到的收敛半径一定等于两个级数中收敛半径小的一方的收敛半径

但是这个定理有一个前提：两个级数的收敛半径不可以相等，因为可能会出现抵消使得收敛半径变小或者变大

所以A、B、的都可以排出，只剩下C了

16.15 细节计算

应用题中的极限考察

实际上本题不难，但是计算要求的细节很多，是很经典的容易拿分，但是不容易拿满分的题目

特别是对和函数的值分析部分

16.16

点火公式考察

这条题就是华里士公式的分析，后面的计算也是十分简单

但是这里计算过程本人是和答案不同的，结果一样就行，因为每个人构造的幂级数不一样，但是结果一致就可以，不必过多纠结

16.17 伽马函数

递推能力的考察、分部积分法的地推

实际上，这个就是伽马函数的推导过程，一步一步进行分部积分即可

16.18

递推能力的考察、分部积分法的地推

具体思路同16.17

16.19

微分方程、计算能力的考察

比较综合的题目，第一问考察微分方程，第二问考察了积分的技巧，然后还考察了数列的极限

16.20 闭关原题

隐藏条件发现的考察

这条题还是比较偏的，谁能想到，要进行求导来得到和函数的关系？

16.21

变形的考察、反套路题目

这条题如果你用16.20的方法，你是很难算出正确结果的，不要问我为什么知道

实际上只需要简单构建递推式即可

16.22 小细节

微分方程结合幂级数求和函数

这里需要注意的是ln（1-x）中的-1的幂次是n-1，不是n

16.23

典型的构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题、带1/n的幂级数

计算即可，注意符号的规范

16.24 放缩考察

抽象函数判敛、放缩能力的考察

这里考了很多的放缩，第二问也是，还是比较有意思的题目的

16.25

典型的构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题、带n的多次幂题目

这条题我们可以不管这个(-1)^n，我们直接使用a、b、c、d的公式即可完成，最后再将x=-1代入即可

16.26 不懂答案

积分的几何应用结合幂级数

这里不知道为什么，答案的积分是这个依托玩意，没看懂

16.27 计算？

计算能力的考察

感觉怪怪的，居然直接代入即可得证了

16.28 思路错误

函数展开幂级数

这里居然想到使用泰勒公式，真的是蠢的没边了

这里应该通过变形，然后得到正确的表达式，注意不要忘记收敛域的判断

最后再通过求导的得到幂级数的和函数

16.29

收敛域的判断

注意这里x的上标是2n+1，所以x取±1都是无关的

16.30

典型的构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题、带n的多次幂题目

可以老老实实做，也可以直接使用a、b、c、d的公式即可完成，具体其实和16.25一样

16.31 伽马函数

积分的考察、构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题

注意伽马函数的计算，感觉这里张宇很喜欢出

16.32 细节错误

构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题，带1/n！

看到n！想到e^x，注意e^x是从0项起的，所以不要漏掉1

16.33 小细节

构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题，带1/n！

注意注意，特别是e^x这种问题，出现了积分，一定要对0有防范意识，很容易被坑

16.34 思路错误

简单的和函数考察

这里思路错误了。

一定要对n次幂很敏感，因为n次幂如果收敛，一定使用那个公式！！！

不要再想往其他地方凑了

16.35 复杂计算，思路错误

比较复杂的构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题，带1/（2n-1）

这里要注意，不可以使用ln（1-x）做题了，因为ln（1-x）的变化中，分母和幂次都是一同变化的：如果分母为n-1，幂次就是n-1；如果分母为2n，幂次就是2n；如果分母为2n-1，幂次就是2n-1。我们如果这样做的话，是无法得到-1的n次幂的

这里我们就需要使用到arctanx了

16.36 疑似凑数

构造幂级数的和函数求特定幂级数结果的问题，带1/n！

非常简单，直接变即可

16.37 粗心错误

积分的几何应用，级数的运算

一定一定要注意，根号分之一的积分，系数是需要乘2的

在这里再计算和函数的时候也是需要一定的技巧，具体可以看看答案，感觉也是比较值得学习的

16.38 不同思路

微分方程结合级数敛散性判断

这里第二问的思路和答案不一样，原本的想法是变成多个和函数相加，然后得到对应的范围是[0,1)，然后再单独判断1的收敛，个人感觉不是很严谨

感觉用答案的单调性分析比较严谨，但是这个会不会考的太杂了？感觉过于杂糅了

16.39 步骤遗漏

微分方程结合级数考察，1/n问题

这里第一问没什么好说的，对于第二问，我们在极限的时候进行无穷小等价，得到结果的时候，还是要进行分析的，因为这里是大题，所以是有分析的必要的

16.40

傅里叶级数的函数近似后的取值考察

一定要注意，傅里叶级数的得到的和函数，一定是f(x)函数的周期且自身的在一点的值等于f(x)的左极限加右极限的

16.41 粗心错误

傅里叶级数的计算

一定要注意，傅里叶级数中的l=T/2的

16.42

傅里叶级数的灵活使用

这里问S(0)，实际上就是a_0/2 + 所有的a_n

同理，那么S(π/2)就是所有的b_n

16.43 闭关原题

这里计算有点复杂，还是比较难的

首先，我们根据这个cosnx，判断这个一定是傅里叶级数

根据这里有一个x^2，判断f(x)大致是和x^2有关系的

然后代入值计算，发现这个f(x)就是x^2

呃🤔，我自己这么说都感觉有点勉强

16.44 概念不熟

傅里叶级数和函数和原函数的关系的深入分析

傅里叶级数的得到的和函数，一定是f(x)函数的周期且自身的在一点的值等于f(x)的左极限加右极限的

第十七章

说实话，这一章有很多的空间解析几何问题比较难以理解

17.1 粗心错误

考察曲面变化率最大的方向向量、直线的切线向量的求取

空间曲面的梯度 = 直线的切线向量

直线的切线向量是（1，y对x的导数），不是（y对x的导数，-1）

17.2

空间解析几何上的最值问题

这里可以使用答案说给的构造辅助函数的方法，但是本人这里使用了几何的方法

实际上空间曲面到空间平面的最值，是空间曲面的切平面

17.3

空间曲线的切线方程

自己设定为参数方程，然后解即可

这里本人的设参数方程的方法与答案略有不同，本人这里是设y=t，感觉这样计算量比答案的低一点

17.4

空间曲线的切线方程，空间曲线由一般式给出

实际上关键点是要算出方向向量

答案使用的方法是，上下两个曲面方程同时对x求导，然后联立得到y对x的偏导、z对x的偏导，然后再得到方向向量

本人的做法是，得到两个空间曲面在该点的法向量，然后将两个法向量叉乘，即可得到对应曲线在该点的切线的方向向量

个人感觉还是答案的方法会好一点

17.5

空间几何上最值问题，三重积分的考察

这里考察了形心的计算

通过构建，可以像答案一样使用拉格朗日乘法来计算

但是实际上，当你观察要求最值和约束条件时，你会发现所要求的最值可以化简为z的一元二次方程，这样更容易求最值了不是吗

17.6 粗心错误

空间曲线的法平面方程

变成参数方程计算即可

然后求出空间曲线的切向量

注意要搞清楚主次

17.7

空间曲面的切平面方程

求出空间曲面的法向量，然后得到切平面即可

17.8

多元微分求导问题、方向向量和梯度

注意，这里的x和y一定要凑成满足要求的值

17.9

复杂函数的梯度计算

实际上就是求导问题

17.10

方向导数和梯度的关系考察

根据题目条件可以列出两个式子，两个式子联立就可以得到梯度，得到梯度就是计算最大方向导数

17.11

复杂函数的梯度计算

直接求导代值计算即可

17.12

旋度的计算

使用公式计算即可

17.13

复杂函数的梯度计算

直接求导计算即可，注意这里是隐函数，需要使用隐函数的计算方法

17.14

空间解析几何的最值问题

说实话这条题目还是有点拗口的

首先我们需要将n向量求出来，然后求出f沿着n向量的方向导数，最后使用拉格朗日乘法求出最值

这里最值计算就没有技巧了，需要老老实实计算

17.15 思路错误

多元微分求导问题、方向向量和梯度

本题和17.8一样，遇到这个不要慌，要知道怎么做

17.16 概念题

多元微分学性质判断问题

这是概念题非常喜欢出，自己要掌握